[5분 고등수학] 극한 미정계수 결정 시 사용하는 성질

 

 

두 함수 f(x)와 g(x)가 아래 수식을 만족한다고 합시다. 

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=L$

이때, 아래 두가지 성질을 만족합니다. 이 성질이 미정계수를 결정할 때 사용됩니다. 여기서 미정계수란 정해지지 않은 '계수'를 의미하는데, 일차식을 예로 들면 ax+b 에서 a를 말합니다. f(x) 혹은 g(x)에 미정계수가 있는 경우, 미정계수를 구할 때 사용되는 성질들입니다. 

 

1) $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$ 이면, $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$ 이다. 
2) $L\neq 0, \ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$ 이면, $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$ 이다. 

하나씩 증명해봅시다. 

 

1) $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$ 이면, $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$ 이다.

아래 두 극한값이 수렴한다는 사실은 알고 있습니다. 

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=L$

$\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$

두 극한값을 곱해줍시다. 

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}\times \lim_{x\rightarrow a}g(x)$

수렴하는 두 식은 하나로 합쳐줄 수 있습니다. 

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}\times \lim_{x\rightarrow a}g(x)=\lim_{x\rightarrow a}\left \{ \frac{f(x)}{g(x)}\times g(x) \right \}$

계산하면 아래와 같습니다. 

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}\times \lim_{x\rightarrow a}g(x)=\lim_{x\rightarrow a}\left \{ \frac{f(x)}{g(x)}\times g(x) \right \}=\lim_{x\rightarrow a}f(x)$

L과 0을 곱한 것이므로 0입니다. 

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}\times \lim_{x\rightarrow a}g(x)=\lim_{x\rightarrow a}\left \{ \frac{f(x)}{g(x)}\times g(x) \right \}=\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$

따라서 아래 등식이 증명됩니다. 

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$

 

 

2) $L\neq 0, \ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$ 이면, $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$ 이다.

아래 두 극한값이 수렴한다는 사실은 알고 있습니다. 

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=L$

두 극한값을 아래와 같이 나눠줍시다.

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)  \div  \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$

나누는 극한값이 0이 아닌 경우 수식을 하나로 합쳐줄 수 있습니다. 

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)  \div  \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\left \{ f(x)  \div  \frac{f(x)}{g(x)} \right \}$

아래와 같이 계산됩니다. 

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)  \div  \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\left \{ f(x)  \div  \frac{f(x)}{g(x)} \right \}=\lim_{x\rightarrow a}g(x)$

L과 0을 곱한 것이므로 0입니다. 

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)  \div  \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\left \{ f(x)  \div  \frac{f(x)}{g(x)} \right \}=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$

따라서 아래 등식이 증명됩니다. 

$\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$