[5분 고등수학] 정적분과 급수

 

 

구분구적법을 기호로 표현한 식이 정적분입니다. 정적분은 아래와 같이 정의됩니다. 

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b-a}{n}\cdot k \right ) \frac{b-a}{n}$

적분이 미분의 역과정이라서, 미분과 관련이 있을 것이라 생각할 수도 있는데요. 위 정의는 미분과는 상관 없는 정의입니다. 미분의 역과정은 '부정적분'이고, 정적분은 단지 위 수식과 같이 정의된 것일 뿐입니다. 

위 식의 우변은 무한급수입니다. 함수에서 구하고 싶은 부분을 잘게 쪼개서 전부 더해준 형태입니다. 좌변은 한가지 형태가 아니라 다양한 형태로 표현이 가능한데요. 오늘은 무한급수로 표현된 수식(우변)을 정적분 형태(좌변)로 바꾸는 방법을 알아봅시다. 한가지 주의할 점은 암기하면 안된다는 것입니다. 원리를 이해해야 오래 기억에 남고, 응용이 가능합니다. 


무한급수로 표현된 함수의 넓이를 정적분으로 바꿀 때, 두 가지가 중요합니다. 

- 어떤 함수로 바꿀 것인가
- 구간은 무엇인가

예시를 통해서 위 두가지 내용을 이해해봅시다. 아래 식을 다시 봅시다. 

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b-a}{n}\cdot k \right ) \frac{b-a}{n}$

좌변을 여러가지 형태로 표현이 가능하다고 말씀드렸는데요. 우변은 그대로 두고 좌변을 아래와 같이 네가지 형태로 바꿔볼 것입니다. 

1) f(x)
2) f(a+x)
3) f(0.5x)
4) f(2+3x)

 

1) f(x) 형태

아래 무한급수를 봅시다. 

$\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b-a}{n}\cdot k \right ) \frac{b-a}{n}$$

위 수식의 함수부분을 f(x) 형태로 해석한다면, x는 아래와 같습니다. 

$x=a+\frac{b-a}{n}\cdot k$

이제 x의 구간을 정하면 됩니다. k는 1부터 n까지 값을 가지므로 구간을 알기 위해서는 k에 1과 n을 넣어보면 됩니다. k에 1을 넣고 n을 무한대로 보내면 x는 a가 됩니다. k에 n을 넣고 n을 무한대로 보내면 x는 b가 됩니다. 따라서 구간은 a부터 b까지 입니다. 

 

구간의 길이는 b-a 이므로, n개로 나누면 한 칸의 밑변은 b-a/n 이됩니다. 

정적분으로 바꾸면 아래와 같습니다. 

$\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b-a}{n}\cdot k \right ) \frac{b-a}{n}=\int_{a}^{b}f(x)dx$

 

 

2) f(x+a) 형태

아래 무한급수를 봅시다. 

$\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b-a}{n}\cdot k \right ) \frac{b-a}{n}$$

이번에는 위 수식의 함수부분을 f(x+a) 형태로 바꿔봅시다. 이때 x는 아래와 같습니다. 

 

$x=\frac{b-a}{n}\cdot k$

 

이제 x의 구간을 정하면 됩니다. k는 1부터 n까지 값을 가지므로 구간을 알기 위해서는 k에 1과 n을 넣어보면 됩니다. k에 1을 넣고 n을 무한대로 보내면 x는 0가 됩니다. k에 n을 넣고 n을 무한대로 보내면 x는 b-a가 됩니다. 따라서 구간은 0부터 b-a까지 입니다. 

 

 

구간의 길이는 b-a 이므로, n개로 나누면 한 칸의 밑변은 b-a/n 이됩니다. 

정적분으로 바꾸면 아래와 같습니다. 

 

$\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b-a}{n}\cdot k \right ) \frac{b-a}{n}=\int_{0}^{b-a}f(x+a)dx$

 

 

3) f(0.5x) 형태

아래 무한급수를 봅시다. 

$\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b-a}{n}\cdot k \right ) \frac{b-a}{n}$

이번에는 위 수식의 함수부분을 f(0.5x) 형태로 바꿔봅시다. 0.5라는 값을 특정한 값을 사용했는데, x에 어떤 상수를 곱한 경우라고 일반화 시켜서 생각하시면 됩니다. 이때 x는 아래와 같습니다. 

 

$x=2\left ( a+\frac{b-a}{n}k \right )$

 

이제 x의 구간을 정하면 됩니다. k는 1부터 n까지 값을 가지므로 구간을 알기 위해서는 k에 1과 n을 넣어보면 됩니다. k에 1을 넣고 n을 무한대로 보내면 x는 2a가 됩니다. k에 n을 넣고 n을 무한대로 보내면 x는 2b가 됩니다. 따라서 구간은 2a부터 2b까지 입니다. 

 

구간의 길이는 2(b-a) 이므로, n개로 나누면 한 칸의 밑변은 2(b-a)/n 이됩니다. 무한급수를 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\frac{1}{2}\times  \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b-a}{n}\cdot k \right ) \frac{2(b-a)}{n}$

 

정적분으로 바꾸면 아래와 같습니다. 

 

$\frac{1}{2}\times  \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b-a}{n}\cdot k \right ) \frac{2(b-a)}{n}=\frac{1}{2}\int_{2a}^{2b}f(0.5x)dx$

 

 

4) f(2+3x) 형태

아래 무한급수를 봅시다. 

$\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b-a}{n}\cdot k \right ) \frac{b-a}{n}$

이번에는 위 수식의 함수부분을 f(2+3x) 형태로 바꿔봅시다. 특정한 값을 사용했는데, f(px+q) 형태로 일반화 시켜서 생각하시면 됩니다. x는 아래 등식으로 구합니다. 

 

$2+3x=a+\frac{b-a}{n}k $

 

x는 아래와 같습니다. 

 

$x=\frac{1}{3}\left ( a+\frac{b-a}{n}k -2 \right )$

 

이제 x의 구간을 정하면 됩니다. k는 1부터 n까지 값을 가지므로 구간을 알기 위해서는 k에 1과 n을 넣어보면 됩니다. k에 1을 넣고 n을 무한대로 보내면 x는 (a-2)/3가 됩니다. k에 n을 넣고 n을 무한대로 보내면 x는 (b-2)/3가 됩니다. 따라서 구간은 (a-2)/3부터 (b-2)/3까지 입니다. 

 

구간의 길이는 (b-a)/3 이므로, n개로 나누면 한 칸의 밑변은 (b-a)/3n 이됩니다. 무한급수를 아래와 같이 변형합시다. 

 

$3\times  \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b-a}{n}\cdot k \right ) \frac{b-a}{3n}$

 

정적분으로 바꾸면 아래와 같습니다. 

 

$3\times  \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b-a}{n}\cdot k \right ) \frac{b-a}{3n}=3\int_{\frac{a-2}{3}}^{\frac{b-2}{3}}f(2+3x)dx$