[5분 고등수학] 역함수의 성질

 

 

역함수의 대표적인 성질은 다섯가지가 있습니다. 

 

1) 어떤 함수의 역함수의 역함수는 자기 자신이다. 

$\left ( f^{-1} \right )^{-1}=f$

 

증명해봅시다. 

 

$y=f(x)$가 있다고 합시다. $y=f(x)$의 역함수는 아래와 같습니다. 

 

$f^{-1}(y)=x$

 

역함수를 한번더 취합시다. 

 

$\left ( f^{-1} \right )^{-1}(x)=y$

 

y는 f(x) 이므로 아래 등식이 성립합니다. 

 

$\left ( f^{-1} \right )^{-1}(x)=f(x)$

 

일반화시키면 아래와 같습니다. 

 

$\left ( f^{-1} \right )^{-1}=f$

 

 

2) 어떤 함수의 역함수와 그 함수를 합성하면 항등함수이다. 

$f(x)$와 그 역함수를 합성해봅시다. 

 

$\left ( f^{-1}\circ f \right )(x)$

 

아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$f^{-1}\left ( f(x) \right )$

 

$y=f(x)$라고 놓겠습니다. 

 

$f^{-1}\left ( y \right )$

 

위 식은 x와 같습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

 

$\left ( f^{-1}\circ f \right )(x)=f^{-1}\left ( f(x) \right )=f^{-1}(y)=x$

 

아래 등식을 얻습니다. 

 

$\left ( f^{-1}\circ f \right )(x)=x$

 

$f^{-1}\circ f=I$

 

 

3) 함수 f와 g를 합성해서 항등함수가 나왔다면, 서로 역함수 관계이다.  

두 함수 f와 g의 합성함수가 항등함수라면 아래 등식이 성립합니다. 

 

$f \circ g =I$

 

g의 역함수를 양변에 합성해줍시다. 

 

$f \circ g \circ g^{-1} =I \circ g^{-1}$

 

2번에 의해 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$f \circ I =I \circ g^{-1}$

 

항등함수와 합성하면 자기자신이므로 아래 등식이 성립합니다. 

 

$f = g^{-1}$

 

 

4) 함수 g와 f를 합성한 뒤 역함수를 취하면, f의 역함수와 g의 역함수를 합성한 것과 같다.   

g와 f의 합성함수의 역함수 수식은 아래와 같습니다. 

 

$\left ( g\circ f \right )^{-1}$

 

2번 성질을 이용하면 아래 등식을 만들 수 있습니다. 

 

$\left ( g\circ f \right )^{-1}\circ \left ( g\circ f \right )=I$

 

양변에 f의 역함수를 합성합니다. 

 

$\left ( g\circ f \right )^{-1}\circ \left ( g\circ f \right ) \circ f^{-1}=I\circ f^{-1}$

 

아래와 같이 계산합시다. 

 

$\left ( g\circ f \right )^{-1}\circ g= f^{-1}$

 

g의 역함수를 양변에 합성합시다. 

 

$\left ( g\circ f \right )^{-1}\circ g \circ g^{-1}= f^{-1}\circ g^{-1}$

 

아래와 같이 계산합시다. 

 

$\left ( g\circ f \right )^{-1}= f^{-1}\circ g^{-1}$

 

 

5) 함수 h와 g와 f를 합성한 뒤 역함수를 취하면, f의 역함수와 g의 역함수와 h의 역함수를 합성한 것과 같다.   

4번과 동일한 방법으로 증명할 수 있습니다. 아래 등식이 성립합니다. 

 

$\left ( h \circ  g\circ f \right )^{-1}= f^{-1}\circ g^{-1} \circ h^{-1}$