[5분 고등수학] 로그의 밑 변환 공식

 

 

로그의 밑 변환 공식은 아래와 같습니다. 

 

1) $\log_{a}b=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}a}$

 

2) $\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$

 

하나씩 증명해봅시다. 

 

1) $\log_{a}b=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}a}$

아래와 같이 두 로그를 각각 x와 y로 놓겠습니다. 

 

$\log_{a}b=x$

 

$\log_{c}a=y$

 

로그의 정의에 의해 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$b=a^{x}$

 

$a=c^{x}$

 

위 첫번째 식의 a자리에 두번째 식을 넣어줍시다. 

 

$b=\left ( c^{y} \right )^{x}=c^{xy}$

 

로그의 정의를 사용하여 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\log_{c}b=xy$

 

x와 y를 원래 값으로 바꿔줍시다. 

 

$\log_{c}b=\log_{a}b\cdot \log_{c}a$

 

아래와 같이 변형해 주면 증명이 완료됩니다. 

 

$\log_{a}b=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}a}$

 

 

2) $\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$

아래와 같이 두 로그를 각각 x와 y로 놓겠습니다.

 

$\log_{a}b=x$

 

$\log_{b}a=y$

 

로그의 정의에 의해 아래와 같이 변형할 수 있습니다.

 

$b=a^{x}$

 

$a=b^{y}$

 

위 첫번째 식의 a자리에 두번째 식을 넣어줍시다.

 

$b=\left ( b^{y} \right )^{x}=b^{xy}$

 

따라서 xy는 1입니다. 

 

xy=\log_{a}b \cdot \log_{b}a=1

 

아래와 같이 변형해 주면 증명이 완료됩니다. 

 

$\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$