[5분 고등수학] 로그의 성질 증명 (1)

 

 

로그의 정의는 아래와 같습니다. 

 

$ax=N \ \Leftrightarrow \ x=\log_{a}N$

 

a의 조건은 아래와 같습니다. 

"a는 1이 아닌 양수"

N의 조건은 아래와 같습니다. 

"N은 양수"

오늘 배워볼 로그의 5가지 성질은 아래와 같습니다. 

1) $\log_{a}1=0$
2) $\log_{a}a=1$
3) $\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$
4) $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$
5) $\log_{a}x^{n}=n\log_{a}x$

하나씩 증명해보겠습니다. 

 

1) $\log_{a}1=0$ 증명

a의 0제곱근은 1입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

$a^{0}=1$

로그 정의를 적용하면 아래와 같습니다. 

$0=\log_{a}1$

 

 

2) $\log_{a}a=1$ 증명

a의 1제곱은 a입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

$a^{1}=1$

로그 정의를 적용하면 아래와 같습니다. 

$1=\log_{a}a$

 

3) $\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$ 증명

아래와 같이 식 두개를 정의하겠습니다. 

$\log_{a}x=m$

$\log_{a}y=n$

로그의 정의를 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

$a^{m}=x$

$a^{n}=y$

각 변끼리 곱해줍니다. 

$a^{m+n}=xy$

로그의 정의를 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

$\log_{a}xy=m+n$

m과 n을 바꿔주면 아래 등식이 유도됩니다. 

$\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$ 

 

4) $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$

아래와 같이 식 두개를 정의하겠습니다. 

$\log_{a}x=m$

$\log_{a}y=n$

로그의 정의를 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

$a^{m}=x$

$a^{n}=y$

각 변끼리 나눠줍니다. 

$a^{m-n}=\frac{x}{y}$

로그의 정의를 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

$\log_{a}\frac{x}{y}=m-n$

m과 n을 바꿔주면 아래 등식이 유도됩니다. 

$\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$ 

 

5) $\log_{a}x^{n}=n\log_{a}x$ 증명

아래와 같이 식을 하나 정의하겠습니다. 

$\log_{a}x=m$

로그의 정의를 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

$a^{m}=x$

양변을 n제곱 해줍니다. 

$a^{mn}=x^{n}$

로그의 정의를 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

$mn=\log_{a}x^{n}$

m을 변형하면 아래 등식이 유도됩니다. 

$n\log_{a}x=\log_{a}x^{n}$