[5분 고등수학] 급수와 수열의 극한의 관계(반드시 기억해야하는 명제)

 

 

수열의 모든 항을 더한 것을 '급수'라고 합니다. 영어로는 series 입니다. 수열의 모든 항을 더한 것을 수식으로 어떻게 나타낼까요? 아래와 같이 나타내면 될까요?

$\sum_{k=1}^{n}a_{n}$

n번째 항까지만 더한 것이라서 모든 항을 더한 것은 아닙니다. n을 무한대로 보내면 모든 항의 합이 됩니다. 

$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}a_{n}$

따라서 급수는 수열의 합의 극한이라고 할 수 있습니다.  급수를 아래와 같이 나타낼 수도 있습니다. 

$\sum_{k=1}^{\infty}a_{n}$

일반적으로 수열의 합을 $S_{n}$으로 나타내므로, 급수를 아래와 같이 쓸 수도 있습니다. 

$\lim_{n\rightarrow \infty}S_{n}$

급수를 나타내는 표현들을 요약하면 아래와 같습니다. 

$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}a_{n}=\sum_{k=1}^{\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}S_{n}$

수열의 합의 극한인 '급수'와 '수열의 극한' 사이에 반드시 기억해야할 아주 중요한 명제 하나가 있습니다. 오늘은 이 명제를 소개하고 증명해보겠습니다. 아래 명제입니다. 

급수 $\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}a_{n}$ 이 수렴하면 $\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}=0$ 이다. 

어떤 수열의 급수가 수렴한다면, 수열의 극한은 반드시 0이 된다는 것입니다. 

 

증명

급수의 수렴값을 S라고 놓겠습니다. 

$\lim_{n\rightarrow \infty}S_{n}=S$

이때 아래 극한값도 S가 됩니다. 

$\lim_{n\rightarrow \infty}S_{n-1}=S$

수열 $a_{n}$을 수열의 합 $S_{n}$ 사이에 아래 등식이 성립합니다. 

$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$

양변에 극한을 취해줍시다. 

$\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left ( S_{n}-S_{n-1} \right )$

우변에 있는 $S_{n}$과 $S_{n-1}$이 모두 수렴하므로 분리해서 써줄 수 있습니다. 

$\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty} S_{n} -\lim_{n\rightarrow \infty}S_{n-1}$

우변의 두 항 모두 S로 수렴하므로 0이 됩니다. 

$\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}=0$

증명이 완료되었습니다. 


명제의 역

알아 두어야할 중요한 내용이 하나 더 있습니다. 어떤 명제가 참라고 해서, 명제의 역도 반드시 참이 되는 것은 아닙니다. 우리가 증명한 명제의 역은 아래와 같습니다.  

$\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}=0$이면, 급수 $\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}a_{n}$ 이 수렴한다. 

얼핏 보면 참인 것 같지만 아닙니다. 이 명제가 거짓이 되는 반례가 존재합니다. 아래 수열을 봅시다. 

$a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

수열의 극한값은 분명 0입니다. 이제 급수가 수렴하는지 알아봅시다. 분모를 유리화해주면 아래와 같이 변형됩니다. 

$a_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

수열의 합은 아래와 같습니다. 

$S_{n}=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

항들을 소거하면 아래 항만 남겨집니다. 

$S_{n}=-\sqrt{1}+\sqrt{n+1}$

n을 무한대로 보낸 것이 급수입니다. 급수는 발산합니다. 따라서 우리가 증명했던 명제의 역은 성립하지 않습니다.