[5분 고등수학] 무리수 e는 어떻게 발견되었을까?

 

 

여러분이 잘 아는 대표적인 무리수는 파이가 있습니다. 파이는 약 3.14라는 값을 갖습니다. 파이만큼 중요한 무리수가 하나 더 있는데요. 바로 e입니다. 이 무리수는 약 2.718이라는 값을 갖습니다. 

이 무리수의 다른 이름은 아래와 같습니다.

- 오일러 수
- 네이피어 상수
- 자연상수

오일러, 네이피어는 사람이름입니다. 오일러는 이 수에 e라는 이름을 붙였고, 이 수가 무리수라는 것을 증명했습니다. 네이피어는 e를 자연로그의 밑으로 사용했습니다. 

자연상수라는 이름은 왜 붙여진걸까요? 그 이유는 무리수 e가 사람이 억지로(?) 만들어낸 수가 아니라 자연에서 혹은 우리 삶에서 발견된 수 이기 때문입니다. 

어떤 상황에서 무리수 e가 발견되었는지 알아봅시다. 

e라는 이름이 붙어있던 시절은 아니지만, 이 수를 처음 발견한 사람은 베르누이였습니다. 베르누이는 1700년대를 살았습니다. 어느날 베르누이는 한가지 의문이 생겼습니다. 아래와 같은 의문입니다. 

"1년에 이자율이 100%로 고정되어 있을 때, 이자 적용을 자주할 수록 이자가 더 많이 붙었다. 예를 들어 10%로 10번 이자를 붙이는 것 보다 1%로 100번 붙이는 것이 이자가 더 많이 붙는 것이다. 이때, 이자적용 횟수를 점점 늘려간다면 이자가 무한이 늘어날까?"

이 의문을 해결하기 위해 직접 계산해봅시다. 

 

1) 일년에 이자를 1번만 붙인 경우

1년에 이자를 한 번만 붙이면 연말에 이자 100%가 한번에 붙습니다. 1원을 예금했다면 1년 뒤 원리합계(원금과 이자의 합계)는 아래와 같습니다. 

원금1원+이자1원=2원

 

 

2) 일년에 이자를 2번 붙인 경우

1년에 이자를 두 번 붙이는 것은 6개월 마다 이자를 50%씩 붙이는 것입니다. 1원을 예금했다면 1년 뒤 원리합계(원금과 이자의 합계)는 아래와 같습니다. 

$1 \cdot \left(1+ \frac{1}{2} \right)\cdot \left(1+ \frac{1}{2} \right)=\left(1+ \frac{1}{2} \right)^{2}$

 

 

3) 일년에 이자를 3번 붙인 경우

1년에 이자를 두 번 붙이는 것은 4개월 마다 이자를  $\left(1+ \frac{1}{3} \right)$%씩 붙이는 것입니다. 1원을 예금했다면 1년 뒤 원리합계(원금과 이자의 합계)는 아래와 같습니다. 

$1 \cdot \left(1+ \frac{1}{3} \right)\cdot \left(1+ \frac{1}{3} \right) \cdot \left(1+ \frac{1}{3} \right)=\left(1+ \frac{1}{3} \right)^{3}$

 

 

4) 일년에 이자를 n번 붙인 경우

위와 같은 원리를 적용합시다. 1원을 예금했다면 1년 뒤 원리합계(원금과 이자의 합계)는 아래와 같습니다. 

$\left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n}$

n을 무한대로 보냅시다. 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n}$

베르누이는 이 값이 어떤 수로 수렴한다는 것을 발견했습니다. 오일러는 이 수렴하는 수가 무리수라는 것을 증명했고, 이 값에 e라는 이름을 붙인 것입니다. 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n}=e$

아래와 같이 표현할 수도 있습니다. 

$\lim_{n \rightarrow 0} \left(1+ n \right)^{ \frac{1}{n} }=e$