[5분 고등수학] 함수가 연속일 조건

 

 

우리는 함수 f(x)가 x=a에서 극한값을 가질 조건은 배운 상태입니다. 아래와 같습니다. 

$\lim_{x\rightarrow a+0 }f(x)=\lim_{x\rightarrow a-0 }f(x)$

x=a에서의 좌극한과 우극한이 존재하고, 두 값이 같아야 합니다. 

연속일 조건은 극한이 존재할 조건에서 한가지 조건이 추가됩니다. 

"극한값과 함수값이 같다"

수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

극한값이 존재한다는 것과 연속이라는 것이 어떻게 다른지 알기 위해 아래 세 그림을 비교해봅시다. 

 

 

첫번째 그림은 극한값도 존재하지 않고 연속도 아닌 경우입니다. 두번째 그림은 극한값은 존재하지만 연속이 아닌 경우입니다. 세번째 그림은 극한값도 존재하고 연속이기도한 경우입니다. 

 

위 그림을 통해 알 수 있는 것은, 두번째 그림처럼 극한은 존재하지만 연속이지 않을 수 있다는 것입니다. 하지만 연속이라면 반드시 극한값이 존재합니다. 따라서 아래 명제는 거짓입니다. 

 

"극한이 존재하면 연속이다"

 

아래 명제는 참입니다. 

 

"연속이면 극한이 존재한다."

 

따라서 아래 포함 관계가 성립합니다.