[5분 고등수학] 순환소수 공식 유도

 

 

순환소수는 기약분수 형태로 변형할 수 있습니다. 순환소수의 형태에 따른 세가지 종류의 공식이 있습니다. 

1) $0.\dot{a}b\dot{c}=\frac{abc}{999}$

2) $0.a\dot{b}\dot{c}=\frac{abc-a}{990}$

3) $0.ab\dot{c}=\frac{abc-ab}{900}$

 

하나씩 유도해봅시다.

1) $0.\dot{a}b\dot{c}=\frac{abc}{999}$

위 순환소수는 아래와 같이 반복됩니다. 

$0.\dot{a}b\dot{c}=0.abcabc...$

이 값을 X라고 놓겠습니다. 

$X=0.abcabc...$

양변에 1000을 곱합시다. 

$1000X=abc.abc...$

아래 식에서 위 식을 빼줍니다. 

$999X=abc$

X에 대해서 정리합니다. 

$X=\frac{abc}{999}$

X는 $0.\dot{a}b\dot{c}$이므로 아래 등식이 유도됩니다. 

$0.\dot{a}b\dot{c}=\frac{abc}{999}$

 

2) $0.a\dot{b}\dot{c}=\frac{abc-a}{990}$

위 순환소수는 아래와 같이 반복됩니다. 

$0.\dot{a}b\dot{c}=0.abcbcbc...$

이 값을 X라고 놓겠습니다. 

$X=0.abcbcbc...$

위 식의 양 변에 1000을 곱한 식과 10을 곱한 식을 각각 만들어줍니다.  

$1000X=abc.bcbc...$

$10X=a.bcbcbc...$

위 식에서 아래 식을 뺍니다. 

$990X=abc-a$

X에 대해서 정리합니다. 

$X=\frac{abc-a}{990}$

X는 $0.a\dot{b}\dot{c}$이므로 아래 등식이 유도됩니다. 

$0.a\dot{b}\dot{c}=\frac{abc-a}{990}$

 

3) $0.ab\dot{c}=\frac{abc-ab}{900}$

위 순환소수는 아래와 같이 반복됩니다. 

$0.\dot{a}b\dot{c}=0.abccc...$

이 값을 X라고 놓겠습니다. 

$X=0.abccc...$

위 식의 양 변에 1000을 곱한 식과 100을 곱한 식을 각각 만들어줍니다.  

$1000X=abc.ccc...$

$100X=ab.ccc...$

위 식에서 아래 식을 뺍니다. 

$900X=abc-ab$

X에 대해서 정리합니다. 

$X=\frac{abc-ab}{900}$

X는 $0.ab\dot{c}$이므로 아래 등식이 유도됩니다. 

$0.ab\dot{c}=\frac{abc-ab}{900}$