[5분 고등수학] 로그의 성질 증명 (2)

 

 

로그의 성질 두번째 시간입니다. 지난 글에서는 아래 다섯가지 성질을 유도했습니다. 

 

1) $\log_{a}1=0$
2) $\log_{a}a=1$
3) $\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$
4) $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$
5) $\log_{a}x^{n}=n\log_{a}x$

 

또한 두가지 밑변환 공식도 유도했습니다. 

 

오늘은 아래 여섯가지 성질을 유도하겠습니다. 증명에 위 성질들이 사용됩니다. 

 

6) $\log_{a}b\cdot \log_{b}a=1 \ (a>0,a\neq 1,b>0,b\neq 1)$

7) $\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}a=1 \ (a,b,c>0 \  and \ a,b,c\neq 1)$

8) $\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}d=\log_{a}d \ (a,b,c,d>0 \ and \ a,b,c\neq 1)$

9) $\log_{a^{m}}b^{n}=\frac{n}{m}\log_{a}b \ (a\neq 1,a>0,b>0,m\neq 0)$

10) $a^{\log_{a}b}=b \ (a>0,b>0,a\neq 1)$

11) $a^{\log_{c}b}=b^{\log_{c}a} \ (a>0,b>0,c>0,c\neq 1)$

 

하나씩 증명해봅시다. 

 

6) $\log_{a}b\cdot \log_{b}a=1 \ (a>0,a\neq 1,b>0,b\neq 1)$

밑변환 공식을 적용하여 아래와같이 좌변을 변형하겠습니다. 

 

$\log_{a}b\cdot \log_{b}a=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}\cdot \frac{\log_{c}{a}}{\log_{c}{b}}$

 

약분하면 1이 됩니다. 

 

$\log_{a}b\cdot \log_{b}a=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}\cdot \frac{\log_{c}{a}}{\log_{c}{b}}=1$

 

따라서 아래 등식이 유도됩니다. 

 

$\log_{a}b\cdot \log_{b}a=1$

 

 

7) $\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}a=1 \ (a,b,c>0 \  and \ a,b,c\neq 1)$

밑변환 공식을 적용하여 좌변을 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}a=
\frac{\log_{x}{b}}{\log_{x}{a}}\cdot
\frac{\log_{x}{c}}{\log_{x}{b}}\cdot
\frac{\log_{x}{a}}{\log_{x}{c}}$

 

약분하면 1이 됩니다. 

 

$\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}a=
\frac{\log_{x}{b}}{\log_{x}{a}}\cdot
\frac{\log_{x}{c}}{\log_{x}{b}}\cdot
\frac{\log_{x}{a}}{\log_{x}{c}}=1$3

 

따라서 아래 등식이 유도됩니다. 

 

$\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}a=1$

 

 

8) $\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}d=\log_{a}d \ (a,b,c,d>0 \ and \ a,b,c\neq 1)$

밑변환 공식을 적용하여 좌변을 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}d=
\frac{\log_{x}{b}}{\log_{x}{a}}\cdot
\frac{\log_{x}{c}}{\log_{x}{b}}\cdot
\frac{\log_{x}{d}}{\log_{x}{c}}$

 

우변을 약분하면 아래와 같습니다. 

 

$\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}d=
\frac{\log_{x}{d}}{\log_{x}{a}}$

 

밑변환공식의 반대과정을 적용하면 아래 등식이 유도됩니다. 

 

$\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}d=\log_{a}d$

 

 

9) $\log_{a^{m}}b^{n}=\frac{n}{m}\log_{a}b \ (a\neq 1,a>0,b>0,m\neq 0)$

밑변환 공식을 적용하여 좌변을 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\log_{a^{m}}b^{n}=\frac{\log_{c}{b^{n}}}{\log_{c}{a^{m}}}$

 

지난시간에 유도한 5번 성질을 이용하여 우변을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$\log_{a^{m}}b^{n}=\frac{n}{m}\cdot \frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}$

 

밑변환공식의 반대과정을 적용하면 아래 등식이 유도됩니다. 

 

$\log_{a^{m}}b^{n}=\frac{n}{m}\log_{a}b$

 

 

10) $a^{\log_{a}b}=b \ (a>0,b>0,a\neq 1)$

양변에 밑이 a인 로그를 취합시다. 

 

$\log_{a}a^{\log_{a}b}=\log_{a}b$

 

5번 성질을 이용하여 지수를 아래로 내립니다. 

 

$\log_{a}b \cdot \log_{a}a=\log_{a}b$

 

$\log_{a}a$는 1이므로 좌우변이 같습니다. 따라서 아래 등식이 유도됩니다. 

 

$a^{\log_{a}b}=b$

 

 

11) $a^{\log_{c}b}=b^{\log_{c}a} \ (a>0,b>0,c>0,c\neq 1)$

양변에 밑이 c인 로그를 취합시다. 

 

$\log_{c}a^{\log_{c}b}=\log_{c}b^{\log_{c}a}$

 

5번 성질을 이용하여 지수를 아래로 내립니다.

 

$\log_{c}b \cdot  \log_{c}a=\log_{c}a \cdot \log_{c}b$

 

좌우변이 같습니다. 따라서 아래 등식이 유도됩니다. 

 

$a^{\log_{c}b}=b^{\log_{c}a}$