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[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (39) 로그의 밑 변환공식 증명 로그의 밑 변환공식 증명 로그의 기본성질 여섯가지는 아래와 같습니다. 하나씩 유도해봅시다. 1) $\log _{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$ 위 등식이 성립한다는 것을 증명해봅시다. 아래와 같이 놓겠습니다. $\log _{a}b=m$ $\log _{c}a=n$ 로그의 정의를 적용하여 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $a^m=b$ $c^n=a$ 두번째 식의 양변을 m제곱 합시다. $c^{mn}=a^m$ 첫번째 식에서 $a^m=b$이므로 아래 등식이 성립합니다. $b=c^{mn}$ 로그의 정의를 이용하여 아래와 같이 변형합시다. $mn=\log_{c}b$ m과 n을 대입합시다. $\log _{a}b \log _{c}a =\log_{c}b$ 아래와 같이 변형합시다. $\log .. 2022. 8. 16.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (38) 로그의 기본성질 증명 로그의 기본성질 유도하기 로그의 기본성질 일곱가지는 아래와 같습니다. 하나씩 유도해봅시다. 1) $\log_{a}1=0$ a의 0제곱은 1이므로 성립합니다. 2) $\log_{a}a=0$ a의 1제곱은 a이므로 성립합니다. 3) $\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$ 위 등식이 성립한다는 것을 증명해봅시다. 아래와 같이 놓겠습니다. $\log_{a}x=m$ $\log_{a}y=n$ 로그의 정의를 적용하여 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $x=a^m$ $y=a^n$ 위 식과 아래 식을 곱합시다. $xy=a^{m+n}$ 로그의 정의를 이용하여 아래와 같이 변형합시다. $\log_{a}xy=m+n$ m과 n을 대입하면 아래와 같습니다. $\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a.. 2022. 8. 15.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (37) 로그의 성질 한눈에 보기 로그의 성질 한눈에 보기 로그의 정의에 익숙해졌으니 이제 본론으로 들어갑시다. 로그의 성질인데요. 12가지 성질이 있습니다. 10개로 줄일 수도 있는데, 12개의 성질로 나누겠습니다. 로그의 성질은 로그계산에서 밥먹듯이 사용됩니다. 덧셈 뺄셈처럼 익숙하게 사용할 수 있도록 숙달시켜야 합니다. 세개의 카테고리로 나눴습니다. 각각 그림으로 정리하였습니다. 다음 시간부터 하나씩 증명해봅시다. 결국은 위 성질들을 능숙하게 사용하는 것이 목적이지만, 증명을 통해 원리를 이해하고사용하는 것과 단순히 외워서 사용하는 것은 다릅니다. 증명을 통한 이해가 진정한 이해이고 증명을 통해 응용하는 능력도 길러집니다. 꼭 증명을 해보시길 추천합니다. 2022. 8. 12.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (36) 로그에 익숙해지기 로그에 익숙해지기 우리는 로그에 아직 익숙하지 않은 상태입니다. 오늘은 로그에 조금 더 익숙해져보는 시간을 갖도록 합시다. 먼저 34강에서 배운 로그의 정의를 다시 가져와봅시다. $a>0,\ a \neq 1,\ N>0$ 일 때, $a^x=N$ 를 만족하는 x 를 아래와 같이 나타냅니다. $x=\log _{a}N$ 아래 로그를 봅시다. x는 얼마일까요? $x=\log _{2}4$ 2의 x제곱이 4가 됩니다. x는 2입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. $\log _{2}4=2$ 이번에는 아래 로그를 봅시다. $x=\log _{3}27$ x는 얼마일까요? 3을 x제곱해서 27이 나와야 하니 x는 3입니다. 하나만 더 해봅시다. $\frac{1}{2}=\log _{4}y$ y는 얼마일까요. 4의 $\fra.. 2022. 8. 11.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (35) 로그는 왜 생겨난걸까 로그는 왜 생겨난걸까 과거에 로그를 처음 고안했을 당시 로그가 생겨난 이유와, 오늘날 로그가 사용되는 분야는 다릅니다. 과거에 로그가 고안된 이유는 큰 수의 곱셈을 편하게 하기 위함이었습니다. 큰 수의 곱셈을 해야하는 상황은 주로 천문학에 있었습니다. 당시에 사용되던 로그는 오늘날의 모양과는 다르지만, 오늘날의 우리가 사용하는 로그를 이용하여 곱셈에서의 유용성을 살펴봅시다. 아직 로그의 정의만 배운 상태라 익숙하지 않겠지만 가볍게 보고 넘어갑시다. 아래와 같이 큰 수의 곱셈이 있다고 합시다. $2273 \times 3253 $ 계산 결과를 A라고 놓겠습니다. $A=2273 \times 3253 $ 양 변에 로그를 취하면 아래와 같이 됩니다. (뒤에서 배울겁니다.) $\log A=\log2273 +\log.. 2022. 8. 10.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (34) 로그의 정의 로그의 정의 로그는 지수로 부터 정의될 수 있습니다. 실제 역사에서는 로그가 지수보다 먼저 발견됐지만, 공부를 하는 입장에서 더 이해하기 쉬운 방법은 지수를 먼저 배우고 로그를 배우는 것입니다. 이런 이유로 고등학교 과정에서는 지수를 먼저 배웁니다. 아래와 같은 지수가 있다고 합시다. $a^x=N$ 위 식을 x에 대해 표현하려고 하면 우리가 지금까지 알고 있는 기호로는 표현이 불가능합니다. 새로운 기호를 도입했고 이 기호가 로그입니다. 로그기호를 이용하여 아래와 같이 표현합니다. $x=\log _{a}N$ 다시 지수로 돌아가봅시다. $a^x=N$ a와 N의 범위를 정해봅시다. 만약 a가 음수라면 x가 정의되지 않는 상황이 발생합니다. 아래와 같습니다. $(-3)^x=3$ a가 0이라면 x가 정의되지 않는.. 2022. 8. 9.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (33) 지수를 실수로 확장 지수를 실수로 확장 우리는 지수법칙을 유리수까지 확장시킨 상태입니다. 아래 다섯가지 지수법칙입니다. 무리수는 순환하지 않는 무한소수입니다. 무리수 하나를 예로 들어봅시다. $\sqrt{2}=1.4142135...$ 유리수가 소수 자리가 하나씩 추가되며 어딘가로 가까워져 간다고 해석할 수 있습니다. 따라서 무리수 영역에서도 지수법칙이 성립합니다. 썩 맘에드는 설명은 아니지만 일단 이정도로 넘어가겠습니다. 2022. 8. 6.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (32) 지수를 유리수로 확장한다는 것이 무엇인가 지수를 유리수로 확장한다는 것이 무엇인가 지수법칙은 자연수에서 먼저 정의되었습니다. 아래와 같이 다섯가지 지수법칙을 공부했었습니다. 엄밀한 유도까지는 아니어도 위 다섯가지 지수법칙이 자연수 영역에서 성립한다는 것을 보였습니다. 이어서 지수를 정수 영역으로 확장했습니다. 먼저 아래 두 규칙을 정의했습니다. $a^0=1$ $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ 이 두 규칙을 이용하여 지수법칙을 0과 음수영역에서 사용해봤더니 지수법칙이 성립했습니다. 지수가 정수 영역으로 확장된 것입니다. 이어서 지수를 유리수 영역으로 확장했습니다. 먼저 아래 두 규칙을 정의했습니다. $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ 이 두 규칙을 이용하여 지수법칙.. 2022. 8. 6.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (31) 지수법칙 유리수버전 ⑤ 거듭제곱3 지수법칙 유리수버전 ⑤ 거듭제곱3 지수를 유리수 영역으로 확장했습니다. 지수가 분수형태인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ 이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 세번째 지수법칙인 거듭제곱3에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 정수인 경우 성립하는 거듭제곱3 법칙은 아래와 같습니다. $\left ( \frac{a}{b} \right )^p=\frac{a^p}{b^p}$ (1) 위 식 좌변의 p를 유리수라고 놓고 좌변을 변형하여 우변을 유도할 것입니다. 성공한다면 위 법칙은 유리수 영역에서도 성립하는 것입니다. p가 아래.. 2022. 8. 4.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (30) 지수법칙 유리수버전 ④ 거듭제곱2 지수법칙 유리수버전 ④ 거듭제곱2 지수를 유리수 영역으로 확장했습니다. 지수가 분수형태인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ 이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 세번째 지수법칙인 거듭제곱2에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 정수인 경우 성립하는 거듭제곱2 법칙은 아래와 같습니다. $\left ( ab \right )^p=a^p b^p$ (1) 위 식 좌변의 p를 유리수라고 놓고 좌변을 변형하여 우변을 유도할 것입니다. 성공한다면 위 법칙은 유리수 영역에서도 성립하는 것입니다. p가 아래와 같은 유리수라고 합시다. $.. 2022. 8. 3.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (29) 지수법칙 유리수버전 ③ 거듭제곱1 지수법칙 유리수버전 ③ 거듭제곱1 지수를 유리수 영역으로 확장했습니다. 지수가 분수형태인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ 이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 세번째 지수법칙인 거듭제곱1에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 정수인 경우 성립하는 거듭제곱1 법칙은 아래와 같습니다. $\left ( a^p \right )^q=a^{pq}$ (1) 위 식 좌변의 p와 q를 유리수라고 놓고 좌변을 변형하여 우변을 유도할 것입니다. 성공한다면 위 법칙은 유리수 영역에서도 성립하는 것입니다. p와 q가 아래와 같은 유리수라고 .. 2022. 8. 1.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (28) 지수법칙 유리수버전 ② 나눗셈 지수법칙 유리수버전 ② 나눗셈 지수를 유리수 영역으로 확장했습니다. 지수가 분수형태인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ 이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 두번째 지수법칙인 나눗셈에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 정수인 경우 성립하는 나눗셈 법칙은 아래와 같습니다. $a^p \div a^q=a^{p-q}$ (1) 위 식 좌변의 p와 q를 유리수라고 놓고 좌변을 변형하여 우변을 유도할 것입니다. 성공한다면 위 나눗셈법칙은 유리수 영역에서도 성립하는 것입니다. p와 q가 아래와 같은 유리수라고 합시다. $p=\fra.. 2022. 7. 31.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (27) 지수법칙 유리수버전 ① 곱셈 지수법칙 유리수버전 ① 곱셈 지수를 유리수 영역으로 확장했습니다. 지수가 분수형태인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ 이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 첫번째 지수법칙인 곱셈에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 정수인 경우 성립하는 곱셈 법칙은 아래와 같습니다. $a^p a^q=a^{p+q}$ (1) 위 식 좌변의 p와 q를 유리수라고 놓고 좌변을 변형하여 우변을 유도할 것입니다. 성공한다면 위 곱셈법칙은 유리수 영역에서도 성립하는 것입니다. p와 q가 아래와 같은 유리수라고 합시다. $p=\frac{d}{c}$ .. 2022. 7. 26.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (26) 지수를 유리수로 확장 지수를 유리수로 확장 지금까지 우리는 지수를 자연수에서 정수로 확장했습니다. 정수로 확장하기 위해 아래 두 가지 규칙을 정했습니다. $a^0=1$ $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ 오늘은 유리수로 확장해봅시다. 유리수는 정수와 정수의 비(ratio)로 표현되는 수 입니다. 아래와 같이 나타냅니다. $\frac{m}{n}$ 자연수와 정수는 유리수에 포함됩니다. 예를들어 자연수 3은 m이 3이고 n이 1인 유리수입니다. 지수를 유리수로 확장한다는 것은 $a^{\frac{m}{n}}$ 를 정의한다는 것입니다. 어떻게 정의해야 할까요. 분자인 m은 거듭제곱으로 분모인 n은 제곱근으로 정의해 보았습니다. $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n].. 2022. 7. 23.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (25) 지수를 정수로 확장한다는 것이 무엇인가 지수를 정수로 확장한다는 것이 무엇인가 지수법칙은 자연수에서 먼저 정의되었습니다. 아래와 같이 다섯가지 지수법칙을 공부했었습니다. 엄밀한 유도까지는 아니어도 위 다섯가지 지수법칙이 자연수 영역에서 성립한다는 것을 보였습니다. 이어서 지수를 정수 영역으로 확장했는데요. 지수를 정수로 확장한다는 것이 무엇인지 한번 더 짚고 넘어가려고 합니다. 지수를 정수 영역으로 확장 한다는 것은 0인 지수와 음수인 지수를 정의한다는 것입니다. 어떻게 정의해야 할까요? $2^0$ 이 무엇이며 $3^{-2}$는 무엇일까요. 원래 존재하던걸 발견하는 걸까요. 아니면 우리가 새로운 규칙을 창조해야 하는 걸까요. 저는 전자라고 생각합니다. 이전 글에서도 언급했듯이 아래 두 규칙이 자연스럽게 발견됩니다. $a^0=1$ $a^{-n}.. 2022. 7. 20.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (24) 지수법칙 정수버전 ⑤ 거듭제곱3 지수법칙 정수버전 ⑤ 거듭제곱3 지수를 정수 영역으로 확장했습니다. 지수가 0인 경우와 음수인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. $1=a^0$ $\frac{1}{a^n}=a^{-n}$ 이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 다섯번째 지수법칙인 거듭제곱3 에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 자연수인 경우 거듭제곱3 법칙은 아래와 같습니다. $\left ( \frac{a}{b}\right )^n=\frac{a^n}{b^n}$ ......(1) 지수를 정수로 바꿔도 성립하는지 확인해봅시다. 1) n이 0인 경우 1번 식에 n에 0을 넣으면 아래와 같습니다. $\left ( \frac{a}{b}\right )^0=\frac{a^0}{.. 2022. 7. 20.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (23) 지수법칙 정수버전 ④ 거듭제곱2 지수법칙 정수버전 ④ 거듭제곱2 지수를 정수 영역으로 확장했습니다. 지수가 0인 경우와 음수인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. $1=a^0$ $\frac{1}{a^n}=a^{-n}$ 이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 네번째 지수법칙인 거듭제곱2 에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 자연수인 경우 거듭제곱2 법칙은 아래와 같습니다. $\left ( ab\right )^n=a^n b^n$ ......(1) 지수를 정수로 바꿔도 성립하는지 확인해봅시다. 1) n이 0인 경우 1번 식에 n에 0을 넣으면 아래와 같습니다. $\left ( ab \right )^0=a^0 b^0$ $a^0=1$ 로 정의했으므로 아래와 같이 변형됩니.. 2022. 7. 19.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (22) 지수법칙 정수버전 ③ 거듭제곱1 지수법칙 정수버전 ③ 거듭제곱1 지수를 정수 영역으로 확장했습니다. 지수가 0인 경우와 음수인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. $1=a^0$ $\frac{1}{a^n}=a^{-n}$ 이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 세번째 지수법칙인 거듭제곱1 에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 자연수인 경우 거듭제곱1 법칙은 아래와 같습니다. $\left ( a^m \right )^n=a^{mn}$ .....(1) 지수를 정수로 바꿔도 성립하는지 확인해봅시다. 1) n이 0인 경우 1번 식에 n에 0을 넣으면 아래와 같습니다. $\left ( a^m \right )^0=a^{0}$ $a^0=1$ 로 정의했으므로 아래와 같이 변형됩니다.. 2022. 7. 15.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (21) 지수법칙 정수버전 ② 나눗셈 지수법칙 정수버전 ② 나눗셈 지수를 정수 영역으로 확장했습니다. 지수가 0인 경우와 음수인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. $1=a^0$ $\frac{1}{a^n}=a^{-n}$ 이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 두번째 지수법칙인 나눗셈에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 자연수인 경우 나눗셈법칙은 아래와 같습니다. $a^m \div a^n=a^{m-n}$ 지수를 정수로 바꿔도 성립하는지 확인해봅시다. 1) n이 0인 경우 위 식에 n에 0을 넣으면 아래와 같습니다. $a^m \div a^0=a^{m}$ $a^0=1$ 로 정의했으므로 아래와 같이 변형됩니다. $a^m =a^{m}$ 등식이 성립하므로 n이 0일 때 나눗셈에.. 2022. 7. 14.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (20) 지수법칙 정수버전 ① 곱셈 지수법칙 정수버전 ① 곱셈 지수를 정수 영역으로 확장했습니다. 지수가 0인 경우와 음수인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. $1=a^0$ $\frac{1}{a^n}=a^{-n}$ 이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 첫번째 지수법칙인 곱셈에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 자연수인 경우 곱셈 법칙은 아래와 같습니다. $a^m a^n=a^{m+n}$ 1) n이 0인 경우 위 식에 n에 0을 넣으면 아래와 같습니다. $a^m a^0=a^{m}$ $a^0=1$ 로 정의했으므로 아래와 같이 변형됩니다. $a^m =a^{m}$ 등식이 성립하므로 n이 0일 때 곱셈에 대한 지수법칙이 성립함을 알 수 있습니다. 2) n이 음수인 경우 n.. 2022. 7. 13.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (19) 지수를 정수로 확장 지수를 정수로 확장 지수는 자연수의 거듭제곱에서 처음 정의된 개념입니다. a 가 n번 곱해졌을 때 아래와 같이 위첨자를 이용하여 간단히 나타내기로 했습니다. 이때 위첨자 n이 지수입니다. $a\times a \times \cdots \times a=a^n$ 오늘은 이 지수를 정수 범위로 확장해봅시다. 아주 자연스럽게 정수 범위로 확장해보겠습니다. 아래와 같이 a의 세제곱에서 출발합시다. $a^3$ $a^3$ 에서 $a^2$이 될 때 $\frac{1}{a}$ 을 곱해줍니다. $a^2$에서 $a^1$ 이 될 때도 $\frac{1}{a}$ 을 곱해줍니다. $a^1$에서 $a^0$이 될 때도 $\frac{1}{a}$ 을 곱해주어 $a^0$을 정의해봅시다. 1이 나옵니다. 자연스럽게 $a^0$이 정의되긴 했는데,.. 2022. 7. 12.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (18) 거듭제곱근의 크기를 비교하는 방법 거듭제곱근의 크기를 비교하는 방법 지난 글에서 배운 거듭제곱근의 성질을 이용하면 거듭제곱근의 크기를 비교할 수 있습니다. 지난 글에서 배운 거듭제곱건의 성질은 아래와 같습니다. $\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m}$ 위 성질을 이용하여 거듭제곱근의 n 부분을 통일해주는 것입니다. 예를 들어 봅시다. 아래와 같이 두 거듭제곱근이 있다고 합시다. $\sqrt[2]{5}$, $\sqrt[3]{7}$ 앞에서 언급한 성질을 적용하면 위 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $\sqrt[2\times 3]{5^3}$, $\sqrt[3 \times 2]{7^2}$ 계산하면 아래와 같습니다. $\sqrt[6]{125}$, $\sqrt[6]{49}$ 이제 루트 안에 있는 두 값을 비교하면 됩니다... 2022. 7. 11.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (17) 거듭제곱근의 성질 ⑥ 공통인수 제거 거듭제곱근의 성질 ⑥ 공통인수 제거 거듭제곱근의 성질 다섯번째 입니다. m과 n이 2 이상의 자연수이고 a는 0보다 큰 실수일 때, 아래 등식이 성립한다는 것을 보여봅시다. $\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m}$ 우리는 n이 자연수인 경우만 배운 상태입니다. 따라서 n은 2 이상의 자연수로 제한합니다. a가 음수라면 허수인 제곱근이 발생할 수 있으므로, a는 양수로 제한합니다. 허수인 제곱근은 나중에 배우게 됩니다. 우변을 np 제곱합니다. $\left ( \sqrt[n]{a^m} \right )^{np}$ 지수법칙에 의해 아래와 같이 변형됩니다. $\left\{ \left ( \sqrt[n]{a^m} \right )^{n} \right\}^p=\left ( a^m \right )^.. 2022. 7. 7.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (16) 거듭제곱근의 성질 ⑤ 거듭제곱근의 거듭제곱근 거듭제곱근의 성질 ⑤ 거듭제곱근의 거듭제곱2 거듭제곱근의 성질 다섯번째 입니다. m과 n이 2 이상의 자연수이고 a는 0보다 큰 실수일 때, 아래 등식이 성립한다는 것을 보여봅시다. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$ 우리는 n이 자연수인 경우만 배운 상태입니다. 따라서 n은 2 이상의 자연수로 제한합니다. a가 음수라면 허수인 제곱근이 발생할 수 있으므로, a는 양수로 제한합니다. 허수인 제곱근은 나중에 배우게 됩니다. 위 식의 좌변을 mn제곱해봅시다. $\left ( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} \right )^{mn}$ 지수법칙에 의해 아래와 같이 변형됩니다. $\left ( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} \r.. 2022. 7. 5.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (15) 거듭제곱근의 성질 ④ 거듭제곱근의 거듭제곱2 거듭제곱근의 성질 ④ 거듭제곱근의 거듭제곱2 거듭제곱근의 성질 네번째입니다. n이 2 이상의 자연수이고 a는 0보다 큰 실수일 때, 아래 등식이 성립한다는 것을 보여봅시다. $\left ( \sqrt[n]{a} \right )^m=\sqrt[n]{a^m}$ 우리는 n이 자연수인 경우만 배운 상태입니다. 따라서 n은 2 이상의 자연수로 제한합니다. a가 음수라면 허수인 제곱근이 발생할 수 있으므로, a는 양수로 제한합니다. 허수인 제곱근은 나중에 배우게 됩니다. 위 식의 좌변을 n제곱해봅시다. $\left\{ \left ( \sqrt[n]{a} \right )^m\right\}^n$ 지수법칙에 의해 아래와 같이 변형됩니다. $\left\{ \left ( \sqrt[n]{a} \right )^m\right\.. 2022. 7. 4.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (14) 거듭제곱근의 성질 ③ 거듭제곱근의 나눗셈 거듭제곱근의 성질 ③ 거듭제곱근의 나눗셈 거듭제곱근의 성질 세번째입니다. n이 2 이상의 자연수이고 a와 b는 0보다 큰 실수일 때, 아래 등식이 성립한다는 것을 보여봅시다. $ \frac{\sqrt[n]{a}}{ \sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{ \frac{a}{b} }$ 우리는 n이 자연수인 경우만 배운 상태입니다. 따라서 n은 2 이상의 자연수로 제한합니다. a나 b가 음수라면 허수인 제곱근이 발생할 수 있으므로, a와 b는 양수로 제한합니다. 허수인 제곱근은 나중에 배우게 됩니다. 위 식의 좌변을 n제곱 해줍시다. $\left ( \frac{\sqrt[n]{a}}{ \sqrt[n]{b}} \right )^n$ 지수법칙을 적용하면 아래와 같이 계산됩니다. $\left ( \frac{\sqrt.. 2022. 7. 2.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (13) 거듭제곱근의 성질 ② 거듭제곱근의 곱 거듭제곱근의 성질 ② 거듭제곱근의 곱 거듭제곱근의 성질 두번째입니다. n이 2 이상의 자연수이고 a와 b는 0보다 큰 실수일 때, 아래 등식이 성립한다는 것을 보여봅시다. $\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ 우리는 n이 자연수인 경우만 배운 상태입니다. 따라서 n은 2 이상의 자연수로 제한합니다. a나 b가 음수라면 허수인 제곱근이 발생할 수 있으므로, a와 b는 양수로 제한합니다. 허수인 제곱근은 나중에 배우게 됩니다. 위 식의 좌변을 n제곱 해줍시다. $\left ( \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \right )^n$ 지수법칙을 적용하면 아래와 같이 계산됩니다. $\left ( \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \right )^n=\left ( .. 2022. 6. 30.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (12) 거듭제곱근의 성질 ① 거듭제곱근의 거듭제곱 거듭제곱근의 성질 ① 거듭제곱근의 거듭제곱 거듭제곱근의 성질 첫번째입니다. n이 2 이상의 자연수이고 a는 0보다 큰 실수일 때, 아래 등식이 성립한다는 것을 보여봅시다. $\left ( \sqrt[n]{a} \right )^n=a$ 우리는 n이 자연수인 경우만 배운 상태입니다. 따라서 n은 2 이상의 자연수로 제한합니다. a가 음수라면 허수인 제곱근이 발생할 수 있으므로, a는 양수로 제한합니다. 허수인 제곱근은 나중에 배우게 됩니다. $\sqrt[n]{a} $ 은 a의 n제곱근 중 하나입니다. 양수인 n제곱근입니다. a도 양수이므로 아래 등식이 성립합니다. $\left ( \sqrt[n]{a} \right )^n=a$ 2022. 6. 29.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (11) n제곱근의 개수 n제곱근의 개수 제목을 더 길고 정확하게 표현하면 '실수 a의 n제곱근 중 실수인 것의 개수'입니다. 실수 a의 n제곱은을 x라고 놓으면 아래 수식과 같이 나타낼 수 있습니다. $x^n=a$ 위 식의 실근의 개수를 구하면 됩니다. 함수의 관점으로 바꾸면 아래와 같습니다. $y=x^n$ $y=a$ 위 두 함수의 접점의 개수를 구하면 됩니다. n이 짝수인지 홀수인지에 따라 나뉩니다. 1) n이 짝수인 경우 n이 짝수인 경우 $y=x^n$ 의 그래프 형태는 아래와 같습니다. $y=a$ 는 수평인 직선입니다. a가 0보다 크면 접점 2개를 갖습니다. a가 0이면 접점 하나, 0보다 작으면 접점이 없습니다. 정리하면 아래와 같습니다. n이 짝수이고 a>0 이면 a의 n제곱근 중 실수인 것은 2개이다. n이 짝수이.. 2022. 6. 28.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (10) 제곱근 구하기 예시3 제곱근 구하기 예시3 문제 5의 세제곱근을 구하시오 풀이 5의 세제곱근을 x라고 놓겠습니다. x는 세제곱해서 5가 되는 수 이므로 아래 등식이 성립합니다. $x^{3}=5$ 제곱해서 5가 되는 수는 무엇일까요? 함수로 접근해봅시다. $x^{3}=5$ 의 근은 아래 두 함수의 교점과 같습니다. $y=x^{3}$ $y=5$ 그래프를 그려봅시다. 한점에서 만납니다. 만나는 점의 x값은 $\sqrt[3]{5}$ 입니다. 2022. 6. 24.
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