[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (25) 지수를 정수로 확장한다는 것이 무엇인가

지수를 정수로 확장한다는 것이 무엇인가

지수법칙은 자연수에서 먼저 정의되었습니다. 아래와 같이 다섯가지 지수법칙을 공부했었습니다. 

 

 

엄밀한 유도까지는 아니어도 위 다섯가지 지수법칙이 자연수 영역에서 성립한다는 것을 보였습니다.

 

이어서 지수를 정수 영역으로 확장했는데요. 지수를 정수로 확장한다는 것이 무엇인지 한번 더 짚고 넘어가려고 합니다. 지수를 정수 영역으로 확장 한다는 것은 0인 지수와 음수인 지수를 정의한다는 것입니다. 

 

어떻게 정의해야 할까요? $2^0$ 이 무엇이며 $3^{-2}$는 무엇일까요. 원래 존재하던걸 발견하는 걸까요. 아니면 우리가 새로운 규칙을 창조해야 하는 걸까요. 저는 전자라고 생각합니다. 이전 글에서도 언급했듯이 아래 두 규칙이 자연스럽게 발견됩니다. 

 

$a^0=1$

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

 

이 두 규칙을 이용하여 지수법칙을 0과 음수영역에서 사용해봤더니 매끄럽게 성립했습니다. 지수가 정수 영역으로 확장된 것입니다.