[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (27) 지수법칙 유리수버전 ① 곱셈

지수법칙 유리수버전 ① 곱셈

지수를 유리수 영역으로 확장했습니다. 지수가 분수형태인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. 

 

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

 

이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 첫번째 지수법칙인 곱셈에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 정수인 경우 성립하는 곱셈 법칙은 아래와 같습니다. 

 

$a^p a^q=a^{p+q}$   (1)

 

위 식 좌변의 p와 q를 유리수라고 놓고 좌변을 변형하여 우변을 유도할 것입니다. 성공한다면 위 곱셈법칙은 유리수 영역에서도 성립하는 것입니다.

 

p와 q가 아래와 같은 유리수라고 합시다. 

 

$p=\frac{d}{c}$ 

$q=\frac{f}{e}$

 

1번 식의 좌변은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$a^p a^q=a^{\frac{d}{c}}a^{\frac{f}{e}}$

 

지수부분 분자와 분모에 같은 값을 곱하여 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$a^p a^q=a^{\frac{de}{ce}}a^{\frac{cf}{ce}}$

 

지수가 분수인 경우에 정의한 수식을 적용하면 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$a^p a^q=\sqrt[ce]{a^{de}} \sqrt[ce]{a^{cf}}$

 

거듭제곱근의 성질을 이용하여 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$a^p a^q=\sqrt[ce]{a^{de+cf}}$

 

지수가 분수인 경우에 정의한 수식을 적용하면 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$a^p a^q=a^{\frac{de+cf}{ce}}$

 

아래와 같이 지수부분을 둘로 나눠 쓸 수 있습니다. 

 

$a^p a^q=a^{\frac{de}{ce}+\frac{cf}{ce}}$

 

아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$a^p a^q=a^{p+q}$

 

첫번째 지수법칙이 성립한다는 것을 보였습니다.