[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (39) 로그의 밑 변환공식 증명

로그의 밑 변환공식 증명

로그의 기본성질 여섯가지는 아래와 같습니다. 하나씩 유도해봅시다. 

 

 

1) $\log _{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$

위 등식이 성립한다는 것을 증명해봅시다. 아래와 같이 놓겠습니다. 

 

$\log _{a}b=m$

$\log _{c}a=n$

 

로그의 정의를 적용하여 아래와 같이 변형할 수 있습니다.

 

$a^m=b$

$c^n=a$

 

두번째 식의 양변을 m제곱 합시다.

 

$c^{mn}=a^m$

 

첫번째 식에서 $a^m=b$이므로 아래 등식이 성립합니다.

 

$b=c^{mn}$

 

로그의 정의를 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

 

$mn=\log_{c}b$

 

m과 n을 대입합시다. 

 

$\log _{a}b  \log _{c}a =\log_{c}b$

 

아래와 같이 변형합시다.

 

$\log _{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$

 

증명이 되었습니다. 

 

2) $\log _{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$

위 등식이 성립한다는 것을 증명해봅시다. 1번에서 유도한 식에서 c자리에 b를 넣어줍니다. 

 

$\log _{a}b=\frac{\log_{b}b}{\log_{b}a}$

 

우변의 분자는 1입니다. 

 

$\log _{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$

 

증명이 되었습니다.