[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (17) 거듭제곱근의 성질 ⑥ 공통인수 제거

 

거듭제곱근의 성질 ⑥ 공통인수 제거

거듭제곱근의 성질 다섯번째 입니다. m과 n이 2 이상의 자연수이고 a는 0보다 큰 실수일 때, 아래 등식이 성립한다는 것을 보여봅시다.

 

$\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m}$

 

우리는 n이 자연수인 경우만 배운 상태입니다. 따라서 n은 2 이상의 자연수로 제한합니다. a가 음수라면 허수인 제곱근이 발생할 수 있으므로, a는 양수로 제한합니다. 허수인 제곱근은 나중에 배우게 됩니다. 

 

우변을 np 제곱합니다. 

 

$\left ( \sqrt[n]{a^m} \right )^{np}$

 

지수법칙에 의해 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$\left\{ \left ( \sqrt[n]{a^m} \right )^{n} \right\}^p=\left ( a^m \right )^p=a^{mp}$

 

따라서 $\sqrt[n]{a^m}$ 은 $a^{mp}$의 np제곱근입니다. a가 양수이므로 양의제곱근입니다. 따라서 $\sqrt[np]{a^{mp}}$ 와 같습니다.