[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (40) 로그의 밑변환 공식으로 유도된 성질 증명

로그의 밑변환 공식으로 유도된 성질 증명

로그의 밑변환공식을 이용하여 세 가지 성질을 더 유도할 수 있습니다. 하나씩 유도해봅시다. 

 

 

1) $\left ( \log_{a}b \right ) \left ( \log_{b}a \right )=1$

위 등식이 성립한다는 것을 증명해봅시다. 밑변환공식을 이용하여 좌변을 변형합시다. 밑을 x로 놓고 변형하겠습니다. 

 

$\left ( \log_{a}b \right )
\left ( \log_{b}a \right )
=\frac{\log_{x}b}{\log_{x}a}\times
\frac{\log_{x}a}{\log_{x}b}$

 

우변은 약분되어 1이 됩니다. 증명이 되었습니다.

 

2) $\left ( \log_{a}b \right ) \left ( \log_{b}c \right ) \left ( \log_{c}a \right )$

1번과 같은 원리로 쉽게 증명할 수 있습니다. 

 

3) $\log_{a^m}b^n=\frac{n}{m}\log_{a}b$

밑변환 공식을 이용하여 좌변을 변형합시다. 밑을 a로 놓겠습니다.

 

$\log_{a^m}b^n=\frac{\log_{a}b^n}{\log_{a}a^m}$

 

로그의 기본성질을 이용하여 지수부분을 앞으로 내려줍니다.

 

$\log_{a^m}b^n=\frac{n}{m}\frac{\log_{a}b}{\log_{a}a}$

 

$\log_{a}a$는 1이므로 아래 등식이 유도됩니다. 

 

$\log_{a^m}b^n=\frac{n}{m}\log_{a}b$

 

증명이 되었습니다.