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수학1/1. 지수함수와 로그함수

[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (40) 로그의 밑변환 공식으로 유도된 성질 증명

by bigpicture 2022. 8. 17.
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로그의 밑변환 공식으로 유도된 성질 증명

로그의 밑변환공식을 이용하여 세 가지 성질을 더 유도할 수 있습니다. 하나씩 유도해봅시다. 

 

 

1) (logab)(logba)=1

위 등식이 성립한다는 것을 증명해봅시다. 밑변환공식을 이용하여 좌변을 변형합시다. 밑을 x로 놓고 변형하겠습니다. 

 

(logab)(logba)=logxblogxa×logxalogxb

 

우변은 약분되어 1이 됩니다. 증명이 되었습니다.

 

2) (logab)(logbc)(logca)

1번과 같은 원리로 쉽게 증명할 수 있습니다. 

 

3) logambn=nmlogab

밑변환 공식을 이용하여 좌변을 변형합시다. 밑을 a로 놓겠습니다.

 

logambn=logabnlogaam

 

로그의 기본성질을 이용하여 지수부분을 앞으로 내려줍니다.

 

logambn=nmlogablogaa

 

logaa는 1이므로 아래 등식이 유도됩니다. 

 

logambn=nmlogab

 

증명이 되었습니다. 

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