[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (21) 지수법칙 정수버전 ② 나눗셈

지수법칙 정수버전 ② 나눗셈

지수를 정수 영역으로 확장했습니다. 지수가 0인 경우와 음수인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. 

 

$1=a^0$

$\frac{1}{a^n}=a^{-n}$

 

이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 두번째 지수법칙인 나눗셈에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 자연수인 경우 나눗셈법칙은 아래와 같습니다. 

 

$a^m \div  a^n=a^{m-n}$

 

지수를 정수로 바꿔도 성립하는지 확인해봅시다.

 

1) n이 0인 경우

위 식에 n에 0을 넣으면 아래와 같습니다. 

 

$a^m \div a^0=a^{m}$

 

$a^0=1$ 로 정의했으므로 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$a^m =a^{m}$

 

등식이 성립하므로 n이 0일 때 나눗셈에 대한 지수법칙이 성립함을 알 수 있습니다. 

 

2) n이 음수인 경우

지수법칙의 좌변은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$a^m \frac{1}{a^{n}}=a^{m-n}$

 

지수가 음수이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$a^m a^{-n}=a^{m-n}$

 

m과 -n 은 자연수이므로 자연수의 지수법칙의 곱셈 법칙을 적용할 수 있습니다. 좌변에 적용합시다. 

 

$a^{m+n}=a^{m-n}$

 

등식이 성립하므로 n이 음수일 때 나눗셈에 대한 지수법칙이 성립함을 알 수 있습니다.