[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (34) 로그의 정의

로그의 정의

로그는 지수로 부터 정의될 수 있습니다. 실제 역사에서는 로그가 지수보다 먼저 발견됐지만, 공부를 하는 입장에서 더 이해하기 쉬운 방법은 지수를 먼저 배우고 로그를 배우는 것입니다. 이런 이유로 고등학교 과정에서는 지수를 먼저 배웁니다. 

 

아래와 같은 지수가 있다고 합시다. 

 

$a^x=N$

 

위 식을 x에 대해 표현하려고 하면 우리가 지금까지 알고 있는 기호로는 표현이 불가능합니다. 새로운 기호를 도입했고 이 기호가 로그입니다. 로그기호를 이용하여 아래와 같이 표현합니다. 

 

$x=\log _{a}N$

 

다시 지수로 돌아가봅시다. 

 

$a^x=N$

 

a와 N의 범위를 정해봅시다.

 

만약 a가 음수라면 x가 정의되지 않는 상황이 발생합니다. 아래와 같습니다. 

 

$(-3)^x=3$

 

a가 0이라면 x가 정의되지 않는 상황이 발생합니다. 아래와 같습니다. 

 

$0^x=3$

 

a가 1이라면 x가 정의되지 않는 상황이 발생합니다. 아래와 같습니다.

 

$1^x=3$

 

N이 음수인 경우도 x가 정의되지 않는 상황이 발생합니다. 아래와 같습니다. 

 

$2^x=-2$

 

N이 0인 경우도 x가 정의되지 않는 상황이 발생합니다. 아래와 같습니다.

 

$2^x=0$

 

a는 1이 아닌 양수이고 N은 양수여야 x가 항상 정의됩니다. 범위를 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$a>0,\ a \neq 1,\ N>0$

 

a가 음수인 경우나 N이 음수인 경우를 포함해서 새로운 로그를 정의해도 상관은 없습니다. 모든 영역을 포함하는 로그인 superlog 를 내 맘대로 만들면 됩니다만, 기존에 정의된 로그보다 사용이 복잡하고 응용이 쉽지 않을겁니다. 선배들이 이미 겪은 시행착오일테니 위 정의를 받아들이고 익숙해져봅시다.