[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (14) 거듭제곱근의 성질 ③ 거듭제곱근의 나눗셈

 

거듭제곱근의 성질 ③ 거듭제곱근의 나눗셈

거듭제곱근의 성질 세번째입니다. n이 2 이상의 자연수이고 a와 b는 0보다 큰 실수일 때, 아래 등식이 성립한다는 것을 보여봅시다. 

 

$ \frac{\sqrt[n]{a}}{ \sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{ \frac{a}{b} }$

 

우리는 n이 자연수인 경우만 배운 상태입니다. 따라서 n은 2 이상의 자연수로 제한합니다. a나 b가 음수라면 허수인 제곱근이 발생할 수 있으므로, a와 b는 양수로 제한합니다. 허수인 제곱근은 나중에 배우게 됩니다. 

 

위 식의 좌변을 n제곱 해줍시다. 

 

$\left ( \frac{\sqrt[n]{a}}{ \sqrt[n]{b}} \right )^n$

 

지수법칙을 적용하면 아래와 같이 계산됩니다.

 

$\left ( \frac{\sqrt[n]{a}}{ \sqrt[n]{b}} \right )^n=\frac{ \left ( \sqrt[n]{a} \right )^n }{\left ( \sqrt[n]{b} \right )^n}=\frac{a}{b}$

 

$\left ( \frac{\sqrt[n]{a}}{ \sqrt[n]{b}} \right )^n$ 는 n제곱하면 $\frac{a}{b}$가 되므로, $\frac{a}{b}$의 n제곱근입니다.

 

a와 b가 둘다 양수이므로 $ \frac{\sqrt[n]{a}}{ \sqrt[n]{b}} $ 은 양수입니다. 따라서 $\frac{a}{b}$의 양의 n제곱근입니다. $\sqrt[n]{ \frac{a}{b} }$ 도 $\frac{a}{b}$의 양의 n제곱근이므로 아래 등식이 성립합니다. 

 

$ \frac{\sqrt[n]{a}}{ \sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{ \frac{a}{b} }$