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e^x 는 어디에 쓰일까? (지수함수적 증가는 언제 생기는걸까?) 지난 두편의 영상은 지수함수적 변화가 일어나는 두 가지 상황을 살펴본 것입니다. 지수함수적 변화는 어떤 수량의 변화 속도가, 현재 수량에 비례하는 경우에 발생합니다. 이 말을 수식으로 나타낸 것이 아래 미분방정식인 것입니다. $f'(t)=kf(t)$ 지수함수적 변화가 무엇인지 더 잘 이해할 수 있도록 우리에게 더 와닿는 예시를 몇가지 더 들어보겠습니다. 1) 만약 돈이 벌리는 속도가 현재 가지고 있는 돈의 양에 비례한다면 돈은 지수함수적으로 많아질 것입니다. 2) 인구가 증가하는 속도가 현재 인구 수에 비례한다면, 인구도 지수함수적으로 증가할 것입니다. 3) 코로나 환자 증가 속도가 현재 코로나 걸린 사람 수에 비례한다면 코로나 환자 숫자도 지수함수적으로 증가할 것입니다. 지수함수적 증가가 발생하는 상황.. 2022. 10. 29.
e^x 는 어디에 쓰일까? (뉴튼의 냉각법칙) 따듯한 물체를 차가운 곳에 놓으면 물체의 온도가 점점 낮아집니다. 물체가 열을 잃는 것인데요. 어떤 물체가 열을 잃는 속도는 물체와 주변환경의 온도 차이에 비례합니다. 이러한 사실을 뉴턴의 냉각법칙이라고 부릅니다. 수식으로 나타내면 아래와 같습니다. $\frac{dT}{dt}=r\left ( T(t)-T_{env} \right )$ $T(t)$는 물체의 온도, $T_{env}$는 주변 온도, r은 열전달 계수입니다. 주변온도는 특정 값으로 일정하다고 가정합니다. 위 식을 아래와 같이 변형합니다. $T'(t)=r\left (T(t)- T_{env} \right )$ 아래와 같이 변형합니다. $\frac{T'(t)}{\left ( T(t)-T_{env} \right )}=r$ 양변을 t에 대해 적분합니다. .. 2022. 10. 28.
e^x 는 어디에 쓰일까? (탄소 연대측정법) 탄소는 양성자6개, 중성자 6개로 이루어진 원자라고 배웠습니다. 이를 탄소-12 라고 부릅니다. 그런데 이런 탄소는 98.89% 입니다. 나머지 1.11%는 탄소의 동위원소입니다. 동위원소는 양성자의 개수는 같고 중성자의 개수가 다른 원소입니다. 양성자는 6개인데 중성자는 7개인 탄소를 탄소-13이라고 부릅니다. 양성자는 6개인데 중성자는 8개인 탄소는 무엇일까요? 탄소-14 입니다. 대기중의 탄소-12 와 탄소-14 의 비율은 일정하게 유지된다고 합니다. 생물 내에 있는 탄소-12 와 탄소-14 의 비율도 대기중과 거의 일치합니다. 생물이 죽게 되면, 생물체 내의 탄소-12는 그대로 있고, 탄소-14가 붕괴하기 시작합니다. 죽은 생물에서 탄소-14가 붕괴하면 죽은 생물 내의 탄소-12와 탄소-14 비율.. 2022. 10. 25.
e를 찾아라 (지수의 미분) 자연상수 e가 발견되기 전 상황을 가정해봅시다. 지수함수를 미분하는 과정에서 자연상수가 자연스럽게 발견된다는 것을 보여드리겠습니다. 아래와 같이 밑이 a인 지수함수가 있습니다. $y=a^x$ 미분을 한번 해봅시다. 함수의 미분은 아래와 같이 정의됩니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$ 위 지수함수에 적용하면 아래와 같습니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h}$ 우변의 분자를 아래와 같이 변형합시다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^{x}\left ( a^h-1 \right )}{h}$ 아래와 같이 치환합니.. 2022. 10. 24.
e를 찾아라 (로그의 미분) 자연상수 e가 발견되기 전 상황을 가정해봅시다. 로그함수를 미분하는 과정에서 자연상수가 자연스럽게 발견된다는 것을 보여드리겠습니다. 아래와 같이 밑이 a인 로그함수가 있습니다. $y=\log_{a}x$ 미분을 한번 해봅시다. 함수의 미분은 아래와 같이 정의됩니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$ 위 로그함수에 적용하면 아래와 같습니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}x}{h}$ 우변의 분자를 아래와 같이 변형합니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\log_{a}(\frac{x+h}{x})}{h.. 2022. 10. 22.
미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 4편 좀 멋진? 신기한? 증명 방법 미분해서 자기 자신이 나오는 함수가 $y=e^x$ 밖에 없다는 것을 재밌는 방법으로 증명해보겠습니다. 미분해서 자기자신이 나오는 함수를 $f(x)$ 라고 한다면 $f(x)=f'(x)$ 가 성립합니다. $f(x)$를 $e^x$로 나눠줍니다. $\frac{f(x)}{e^x}$ 위 식을 x로 미분합니다. $\left ( \frac{f(x)}{e^x} \right )'=\frac{f'(x)e^x-e^x f(x)}{\left ( e^x \right )^2}$ 분자를 $e^x$로 묶어줍니다. $\left ( \frac{f(x)}{e^x} \right )'=\frac{e^x\left ( f'(x)- f(x) \right )}{\left ( e^x \right )^2}$ f'(x)-f(x.. 2022. 10. 21.
미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 3편 우리는 지금까지 미분해서 자기자신이 나오는 함수를 유도했습니다. 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 $y'=y$ 라는 미분방정식의 해입니다. $y=y'$ 을 아래와 같이 변형했습니다. $\frac{dy}{dx}=y$ y로 양변을 나누고 dx를 양변에 곱했습니다. 1번 과정이라고 놓겠습니다. $\frac{1}{y}dy=dx$ 양변을 적분합니다. $\int \frac{1}{y}dy=\int 1dx$ 적분을 계산합니다. $\ln \left | y \right |=x+C$ 로그의 성질을 이용하여 변형하면 아래와 같습니다. $y=\pm e^x e^c$ 여기서 1번 과정을 보면 dy와 dy를 마치 숫자인 것처럼 각각 분리해서 사용하고 있습니다. 2번과정에서는 dx와 dy가 갑자기 적분상수가 됩니다. 이래도 되는 것.. 2022. 10. 20.
미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 2편 지난시간에 미분해서 자기자신이 나오는 함수가 $Ae^x$ 임을 보인 과정을 간단히 가져왔습니다. $y=f(x)$ $f'(x)=f(x)$ $y'=y$ $\frac{dy}{dx}=y$ y로 양변 나눔 $\frac{1}{y}dy=dx$ 적분취함 $\int \frac{1}{y}dy=\int dx$ 적분 계산 $\ln\left | y \right |=x+C$ 변형 $\left | y \right |=e^{x+C}$ 절댓값 풀어줌 $y=\pm e^{x+C}$ 변형 $y=\pm e^{C}e^{x}$ 치환 $y=Ae^{x}$ 위 수식에서 y로 양변을 나눠주는데요. y로 양변을 나누기 위해서는 한가지 조건이 필요한데, y가 0이 아니라는 조건이 필요합니다. 따라서 위 수식은 y가 0이 아니라는 전제로 유도된 수식입니다... 2022. 10. 15.
대수학은 왜 알제브라(algebra) 일까 기원 후 820년경에 페르시아의 수학자 '아부 압둘라 무함마드 이븐 무사 알콰리즈미'가 책을 하나 씁니다. 페르시아 최초의 수학책이었습니다. 책이름은 '알키탑 알묵타사르 피 히삽 알자브르 왈무까발라' 였는데 방정식의 풀이를 다룬 책이었습니다. 여기서 알자브르는 الجبر 인데 '흩어진 부분들을 묶음' 이라는 뜻입니다. 방정식을 풀 때 항들을 묶는 다는 의미로 사용되었습니다. 고전적인 의미의 대수학이란 수 대신 문자를 사용하여 방정식을 푸는 방법을 말합니다. 따라서 알키탑 알묵타사르 피 히삽 알자브르 왈무까발라는 대수학의 시초격인 책입니다. 이런 이유로 이 책 제목에 등장하는 단어인 알자브르가 오늘날 대수학을 의미하는 단어인 algebra 된 것입니다. 또한 오늘날 쓰이는 알고리즘이라는 표현도 위 책의 저.. 2022. 10. 13.
수학선생님들은 어떤 시험을 본걸까 (임용고시 과목) 임용고시는 1차시험과 2차시험이 있습니다. 1차시험에서는 교육학과 전공과목시험을 봅니다. 2차시험에서는 면접과 수업실연을 합니다. 수학선생님이 통과하신 임용고시의 수학전공과목들은 아래와 같습니다. 수학교육론 해석학 (수열, 미적분) 복소해석학 (복소평면에서의 해석학) 현대대수학 (군,환,체) 위상수학 (손잡이 달린 컵은 도넛과 같다) 선형대수학 (일차연립방정식과 그 응용) 정수론 (정수의 성질 연구, 약수 배수 등) 미분기하학 (곡선 곡면등을 미적분을 이용하여 연구) 확률과통계 이산수학 (조합론, 그래프이론. 컴공) 2022. 10. 13.
무리수는 움직인다? 무리수는 순환하지 않는 무한소수입니다. 대표적으로는 $\pi$ , e , $\sqrt{2}$ 가 있습니다. 파이는 3.141592..... 와 같이 소숫점 이후 자릿수가 끝없이 계속됩니다. 이런 이유 때문에 마치 무리수가 어딘가로 다가가는 중인 수라고 생각하시는 경우가 있습니다. 움직이는 상태인 수라고 생각하는 겁니다. 파이는 3.14 로 시작하여 3.14159265358979... 로 어딘가를 향해 다가가는 중이라고 말이죠. 오늘 이 오해를 풀어보겠습니다. 무리수는 어딘가로 다가가는 수가 아니라 멈춰있는 수 입니다. 크기가 얼마로 딱 정해진 수인 것입니다. $\sqrt{2}$를 생각해봅시다. $\sqrt{2}$는 아래와 같이 밑변과 높이가 1인 삼각형의 대각선 길이입니다. 파이도 마찬가지입니다. 파이는.. 2022. 10. 12.
미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 1편 $e^x$를 미분하면 $e^x$ 입니다. 미분해도 자기 자신이 나오는 함수입니다. $e^x$ 뿐 아니라 $2e^x$ 도 미분하면 자기자신이 나오고, $3e^x$ 도 미분하면 자기 자신이 나옵니다. 따라서 $Ae^x$ 는 미분하면 자기자신이 나오는 함수라고 할 수 있습니다. 반대로 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 $Ae^x$ 밖에는 없을까요? 대답은 Yes 입니다. 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 $Ae^x$ 밖에 없습니다. 왜 그런지 알아봅시다. 미분해서 자기자신이 나오는 함수를 $y=f(x)$라고 놓아봅시다. 미분해서 자기자신이 나온다면 아래 등식이 성립합니다. $f'(x)=f(x)$ y를 이용해서 표현하면 아래와 같습니다. $y'=y$ $y'$을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $\frac{.. 2022. 10. 10.
1/x 를 적분하면 왜 ln|x| 일까 (절댓값이 왜 생길까) $\frac{1}{x}$ 를 적분하면 $\ln\left | x \right |$ 가 됩니다. 이때 왜 절댓값이 생기는 걸가요? 오늘 그 이유를 알아봅시다. $y=\ln x$ 의 미분에서 출발합시다. x 는 로그의 진수이므로 양수입니다. $y=\ln x \quad (x>0)$ 함수의 미분은 아래와 같이 정의됩니다. $y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$ 위 함수에 적용하면 아래와 같습니다. $y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(x+h)-\ln x}{x+h-x}$ 아래와 같이 계산할 수 있습니다. $y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(\frac{x+h}{x})}{h}$ 아래와 같이 변형합시다. $y'=\l.. 2022. 10. 10.
[수학 1] (1-53) 지수함수는 일대일 대응일까 [모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (53) 지수함수는 일대일 대응일까 지수함수를 일대일함수, 일대일 대응 관점에서 이해해봅시다. 먼저 각각의 정의를 설명하겠습니다. 수학(하)에서 배운 내용입니다. 일대일 함수 : x의 함수값이 전부 다른 함수 일대일 대응 : x의 함수값이 전부 다르고, 공역과 치역이 같은 함수 지수함수는 일대일 함수일까요? 일대일 대응일까요? 지수함수의 그래프를 보고 판단해봅시다. 지수함수의 $y=a^{x}$에서 x의 함수값은 전부 다릅니다. x다르면 함수값도 달라집니다. 따라서 지수함수는 일대일 함수입니다. 일대일대응이기도 할까요? 정의역을 실수 전체, 공역을 양의실수 전체로 놓으면 일대일대응이 됩니다. 따라서 해당 영역에서 지수함수 $y=a^{x}$는 역함수를 갖습니다. 2022. 10. 5.
[수학 1] (1-52) 지수함수의 정의역과 치역 [모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (52) 지수함수의 정의역과 치역 지수함수의 정의는 아래와 같습니다. $y=a^{x}$ 이고 a는 1이 아닌 양의 실수 a의 범위에 따라 그래프 형태는 두 종류로 나뉩니다. a가 0 2022. 10. 4.
[수학 1] (1-51) a의 범위에 따른 지수함수의 그래프 (점근선, 반드시 지나는 점) [모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (51) a의 범위에 따른 지수함수의 그래프 (점근선, 반드시 지나는 점) 지난시간에 지수함수를 정의했습니다. 지수함수는 아래와 같이 정의됩니다. $y=a^{x}$ 이고 a는 1이 아닌 양의 실수이다. $y=a^{x}$의 그래프는 a의 범위에 따라 두가지 형태로 나뉩니다. $0 2022. 10. 2.
중고등학교에서 배운 기하학 vs 비유클리드기하학 우리는 중고등학교 수학시간에 기하학을 배웁니다. 기하학이라는 과목 이름이 따로 있는 것은 아니지만 우리가 배우는 과정 안에 기하학 내용이 들어 있습니다. 기하학은 점,선,면,부피를 연구하는 학문입니다. 중고등학교에서 배운 기하학은 유클리드기하학을 기반으로 합니다. 유클리드 기하학은 아래와 같은 다섯가지 공준을 따르는 기하학입니다. 공준은 공리와 비슷한 것인데, 공리는 증명이 불가능한 자명한 명제를 말합니다. 유클리드 기하학의 다섯가지 공준은 아래와 같습니다. 1. 서로 다른 두 점은 직선으로 연결할 수 있다. 2. 임의의 선분은 원하는 만큼 연장할 수 있다. 3. 서로 다른 두 점에서, 한 점을 중심으로 하고 두 점 사이의 거리를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다. 4. 모든 직각의 크기가 같다. 다섯.. 2022. 10. 2.
라마누잔이 천재임을 증명하는 일화? 라마누잔은 인도의 전설적인 수학자입니다. 라마누잔은 인도에서 독학으로 수학을 연구하고 있었습니다. 라마누잔은 자신의 연구 내용을 케임브리지 대학교 하디에게 보냈고, 하디는 라마누잔의 천재성을 알아보고 그를 초대합니다. 이때부터 라마누잔은 하디와 함께 수학을 연구합니다. 라마누잔은 병에 걸리게 되고 병원에 입원합니다. 하디는 병문안을 하러 라마누잔을 찾아갔고, 이때 오늘 소개할 일화가 등장합니다. 하디는 자신이 타고온 택시 번호가 1729 라고 말합니다. 지루한 1729 라며 나쁜 징조가 아니었으면 좋겠다고 합니다. 라마누잔은 이렇게 대답합니다. "1729는 두 세제곱수의 합으로 나타낼 수 있고, 그 방법은 두가지입니다. 상당히 재미있는 수에요. 하나는 $9^3+10^3$이고, 다른 하나는 $1^3+12^.. 2022. 9. 29.
[수학 1] (1-50) 지수함수란 무엇인가? [모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (50) 지수함수란 무엇인가 지수함수는 아래와 같은 형태의 함수를 말합니다. $y=a^{x}$ 지수 자리에 x가 있는 형태의 함수입니다. 여기서 a의 조건을 생각보아야 합니다. a를 모든 실수로 놓을 경우에는 문제가 발생합니다. 예를 들어 a가 음수 -2 라고 해봅시다. 위 식에 넣어서 적어보면 아래와 같습니다. $y=-2^{x}$ 위 식에서는 y 값이 허수인 경우가 생기게 됩니다. 고등학교 과정에서는 허수 값는 갖는 함수를 다루지 않기 때문에 a가 음수인 경우는 제외합니다. a가 0인 경우는 어떨까요? a가 0이면 $y=0^x$ 인 식이 되는데요. x가 자연수인 경우 외에 나머지 값을 정의할 수가 없습니다. 그렇다면 a가 음수이면 안되고, 0이면 안되니까 a가.. 2022. 9. 14.
[수학 1] (1-49) 두 상용로그의 차가 정수라면 [모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (49) 두 상용로그의 차가 정수라면 두 양수 A와 B의 상용로그를 아래와 같이 놓겠습니다. $\log A=M+\alpha$ $\log B=N+\beta$ 두 상용로그의 차가 정수라면 어떤 조건이 성립할까요? M 과 N은 빼도 정수이므로 신경쓰지 않아도 됩니다. $\alpha$ 와 $\beta$를 빼서 정수가 나와야 합니다. 두 값 모두 0보다 같거나 크고 1보다 작기 때문에 두 값의 차는 0보다 같거나 크고 1보다 작습니다. 만약 두 값의 차가 정수라면 두 값의 차는 0이어야 합니다. 두 상용로그의 차가 정수라면, 두 상용로그의 소수부분의 차는 0이다. 2022. 9. 12.
[수학 1] (1-48) 두 상용로그의 합이 정수라면 [모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (48) 두 상용로그의 합이 정수라면 두 양수 A와 B의 상용로그를 아래와 같이 놓겠습니다. $\log A=M+\alpha$ $\log B=N+\beta$ 두 상용로그의 합이 정수라면 어떤 조건이 성립할까요? M 과 N은 더해도 정수이므로 신경쓰지 않아도 됩니다. $\alpha$ 와 $\beta$를 합해서 정수가 나와야 합니다. 정수 얼마가 나와야 할까요? 소수부분은 1보다 작기 때문에 두 소수부분을 더해도 2를 넘을 수 없습니다. 따라서 두 소수부분의 합이 1이 나와야 합니다. 두 상용로그의 합이 정수라면, 두 상용로그의 소수부분의 합은 1이다. 2022. 9. 9.
[수학 1] (1-47) 상용로그의 소수부분의 성질 [모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (47) 상용로그 소수부분의 성질 먼저 양용로그에서 소수부분이 하는 역할을 알아봅시다. 이 역할을 이용해서 성질을 알아낼 것입니다. 아래와 같은 상용로그가 하나 있다고 합시다. $\log 5.61=0.7490$ 양변에 1을 더하면 아래와 같습니다. $\log 5.61 + 1=1+0.7490$ 좌변의 1만 로그 형태로 바꿔주겠습니다. $\log 5.61 + \log 10=1+0.7490$ 좌변을 계산해줍시다. $\log 56.1 =1+0.7490$ 어떻죠? 좌변의 숫자 구성은 변하지 않고 자릿수만 달라졌습니다. 원래의 식을 다시 가져옵시다. $\log 5.61=0.7490$ 양변에 정수 n을 더해봅시다. $\log 5.61 +n =n+0.7490$ 좌변의 n만 로.. 2022. 9. 7.
[수학 1] (1-46) 상용로그의 정수부분의 성질 [모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (46) 상용로그 정수부분의 성질 상용로그의 정수부분의 성질은 두 질문에 대한 답을 구하는 과정에서 등장합니다. 먼저 첫번째 질문입니다. 정수부분이 n자리인 수의 상용로그의 정수부분은 얼마일까? 간단한 예를 들어봅시다. 1234는 정수부분이 네자리인 수입니다. $\log1234$ 의 정수부분이 얼마인지 구하면 됩니다. $\log 1234$ 를 정수부분과 소수부분으로 분리하면 아래와 같습니다. $\log 1234=3+\log 1.234$ 소수부분은 0이상 1 미만이어야 하고, 로그형태로는 $\log 1$ 이상 $\log 10$ 미만입니다. 따라서 위 분리는 맞습니다. 4자리 수의 상용로그의 정수부분은 3자리입니다. 몇개를 더 해보면 n자리 수의 상용로그의 정수부분.. 2022. 9. 6.
[수학 1] (1-45) 상용로그의 정수 부분과 소수 부분 (음수) [모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (45) 상용로그의 정수 부분과 소수 부분 (음수) 지난시간에 상용로그의 정수부분과 소수부분을 배웠습니다. 상용로그의 정수부분과 소수부분은 아래와 같습니다. $\log N =n+\log k \quad (0 \leq \log k 2022. 8. 30.
[자주 쓰는 수학공식] 삼각함수 합차 공식 $\sin (\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ $\sin (\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ $\cos (\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ $\cos (\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ $\tan (\alpha+\beta)= \frac{ \tan \alpha + \tan \beta}{1- \tan\alpha \tan\beta}$ $\tan (\alpha-\beta)= \frac{ \tan \alpha - \tan \beta}{1+ \tan\alpha .. 2022. 8. 28.
[수학 1] (1-44) 상용로그의 정수 부분과 소수 부분 [모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (44) 상용로그의 정수 부분과 소수 부분 모든 실수는 정수부분과 소수부분으로 나눌 수 있습니다. 예를 들어 3.14 의 정수부분은 3이고 소수 부분은 0.14입니다. 등식으로 나타내면 아래와 같습니다. $3.14=3+0.14$ 어떤 자연수 N의 상용로그 값도 실수이기 때문에 정수부분과 소수부분으로 나눌 수 있습니다. 상용로그를 실수부분과 소수부분으로 나누면 상용로그표를 사용하기 편해집니다. 그 이유를 지금부터 알아봅시다. 어떤 자연수 N의 상용로그는 아래와 같이 정수부분과 소수부분으로 나눌 수 있습니다. $\log N=n+\alpha$ $\alpha$가 소수부분입니다. 소수이므로 0보다 같거나 크고 1보다 작습니다. 따라서 범위는 아래와 같습니다. $0\leq.. 2022. 8. 26.
[수학 1] (1-43) 상용로그표 [모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (43) 상용로그표 지난시간에 상용로그를 이용하여 구하려던 곱셈을 다시 가져와봅시다. $A=557 \times 988$ 양변에 상용로그를 취하고 아래와 같이 변형했습니다. $ \log A= \log 5.57+\log 9.88+4$ 변형과정은 지난시간에 다뤘으므로 생략합니다. 우변에서 $\log 5.57 $과 $\log 9.88$ 를 구하면 우변을 계산할 수 있는데요. 이런한 상용로그값을 미리 계산해서 표로 정리해놓은 것이 '상용로그표'입니다. 상용로그표는 1.00부터 9.99까지의 상용로그 값을 0.01 간격으로 나타낸 것입니다. 엑셀로 계산한 상용로그표는 아래와 같습니다. 아래는 상용로그표입니다. 2022. 8. 24.
[수학 1] (1-42) 상용로그는 어디에 쓰나 [모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (42) 상용로그는 어디에 쓰나 오늘은 상용로그를 어디에 쓰는지 알아봅시다. 상용로그는 큰 수의 곱셈을 쉽게 계산하는데 쓰였습니다. 로그가 고안된 당시에 그랬던 것이구요. 오늘날은 계산기로 곱셈을 하는게 훨씬 빠릅니다. 상용로그가 큰 수의 곱셈에 어떻게 이용되는지 알아봅시다. 아래 두 수를 곱하려고합니다. $557 \times 988$ 두 수의 곱을 A라고 놓겠습니다 $A=557 \times 988$ 양변에 상용로그를 취합시다. $\log A=\log (557\times 988)$ 로그의 성질을 이용하여 우변을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $\log A=\log557 + \log988$ 우변을 아래와 같이 변형합니다. $\log A=\log(5.57\tim.. 2022. 8. 23.
[수학 1] (1-41) 상용로그란 무엇인가 [모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (41) 상용로그란 무엇인가 우리는 지금까지 로그의 정의와 로그의 성질들을 배웠습니다. 로그의 밑은 a,b,c 등의 상수로 놓은 상태로 로그를 다뤘습니다. $\log_{a}b$ 오늘 우리가 배울 상용로그는 밑이 10인 로그입니다. 밑이 10인 로그에는 특별히 이름을 붙여서 상용로그라고 부릅니다. 몇가지 예를 들면 아래와 같습니다. $\log_{10}5$ $\log_{10}3$ $\log_{10}200$ 상용로그에서 밑은 주로 생략하여 나타냅니다. $\log 5$ $\log 3$ $\log 200$ 만약 밑이 생략되어 있다면, 10이 생략되었구나 생각하시면 됩니다. 상용로그가 무엇인지 이제 알았습니다. 밑이 10인 로그만 상용로그라고 따로 이름을 붙인 이유가 무엇.. 2022. 8. 18.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (40) 로그의 밑변환 공식으로 유도된 성질 증명 로그의 밑변환 공식으로 유도된 성질 증명 로그의 밑변환공식을 이용하여 세 가지 성질을 더 유도할 수 있습니다. 하나씩 유도해봅시다. 1) $\left ( \log_{a}b \right ) \left ( \log_{b}a \right )=1$ 위 등식이 성립한다는 것을 증명해봅시다. 밑변환공식을 이용하여 좌변을 변형합시다. 밑을 x로 놓고 변형하겠습니다. $\left ( \log_{a}b \right ) \left ( \log_{b}a \right ) =\frac{\log_{x}b}{\log_{x}a}\times \frac{\log_{x}a}{\log_{x}b}$ 우변은 약분되어 1이 됩니다. 증명이 되었습니다. 2) $\left ( \log_{a}b \right ) \left ( \log_{b}c \ri.. 2022. 8. 17.
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