[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (38) 로그의 기본성질 증명

로그의 기본성질 유도하기

로그의 기본성질 일곱가지는 아래와 같습니다. 하나씩 유도해봅시다. 

 

1) $\log_{a}1=0$

a의 0제곱은 1이므로 성립합니다. 

 

2) $\log_{a}a=0$

 

a의 1제곱은 a이므로 성립합니다. 

 

3) $\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$

위 등식이 성립한다는 것을 증명해봅시다. 아래와 같이 놓겠습니다. 

 

$\log_{a}x=m$

$\log_{a}y=n$

 

로그의 정의를 적용하여 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$x=a^m$

$y=a^n$

 

위 식과 아래 식을 곱합시다. 

 

$xy=a^{m+n}$

 

로그의 정의를 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\log_{a}xy=m+n$

 

m과 n을 대입하면 아래와 같습니다. 

 

$\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$

 

증명이 되었습니다. 

 

4) $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$

위 등식이 성립한다는 것을 증명해봅시다. 아래와 같이 놓겠습니다. 

 

$\log_{a}x=m$

$\log_{a}y=n$

 

로그의 정의를 적용하여 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$x=a^m$

$y=a^n$

 

위 식을 아래 식으로 나눕시다.  

 

$\frac{x}{y}=a^{m-n}$

 

로그의 정의를 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\log_{a}\frac{x}{y}=m-n$

 

m과 n을 대입하면 아래와 같습니다. 

 

$\log_{a}xy=\log_{a}x-\log_{a}y$

 

증명이 되었습니다. 

 

증명이 되었습니다. 

 

5) $\log_{a}x^n=n \log_{a}x$

위 등식이 성립한다는 것을 증명해봅시다. 아래와 같이 놓겠습니다. 

 

$\log_{a}x=m$

 

로그의 정의를 적용하여 아래와 같이 변형할 수 있습니다.

 

$x=a^m$

 

양변을 n제곱 해줍시다. 

 

$x^n=a^{mn}$

 

로그의 정의를 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\log_{a}x^n=mn$

 

m을 대입합시다. 

 

$\log_{a}x^n=n\log_{a}x$

 

증명이 되었습니다. 

 

6) $a^{\log_{a}b}=b$

위 등식이 성립한다는 것을 증명해봅시다. 위 식의 좌변에 밑이 a인 로그를 취합시다. 

 

$\log_{a}a^{\log_{a}b}$

 

5번 성질을 이용하여 좌변을 아래와 같이 변형할 수 있습니다 .

 

$\log_{a}a^{\log_{a}b}=\log_{a}b \times \log_{a}a$

 

$\log_{a}a$는 1이므로 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$\log_{a}a^{\log_{a}b}=\log_{a}b$

 

따라서 아래 등식이 성립합니다. 

 

$a^{\log_{a}b}=b$

 

 

7) $a^{\log_{c}b}=b^{\log_{c}a}$

위 등식이 성립한다는 것을 증명해봅시다. 위 식의 좌변에 밑을 c로 하는 로그를 취해봅시다. 

 

$\log_{c}a^{\log_{c}b}$

 

5번 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\log_{c}a^{\log_{c}b}=\log_{c}b \times \log_{c}a$

 

5번 성질을 역이용하여 $\log_{c}a$를 지수 위치로 올립니다. 

 

$\log_{c}a^{\log_{c}b}=\log_{c}b^{\log_{c}a}$

 

따라서 아래 등식이 성립합니다.

 

$a^{\log_{c}b}=b^{\log_{c}a}$

 

증명이 되었습니다.