[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (15) 거듭제곱근의 성질 ④ 거듭제곱근의 거듭제곱2

 

거듭제곱근의 성질 ④ 거듭제곱근의 거듭제곱2

거듭제곱근의 성질 네번째입니다. n이 2 이상의 자연수이고 a는 0보다 큰 실수일 때, 아래 등식이 성립한다는 것을 보여봅시다.

 

$\left ( \sqrt[n]{a} \right )^m=\sqrt[n]{a^m}$

 

우리는 n이 자연수인 경우만 배운 상태입니다. 따라서 n은 2 이상의 자연수로 제한합니다. a가 음수라면 허수인 제곱근이 발생할 수 있으므로, a는 양수로 제한합니다. 허수인 제곱근은 나중에 배우게 됩니다. 

 

위 식의 좌변을 n제곱해봅시다. 

 

$\left\{ \left ( \sqrt[n]{a} \right )^m\right\}^n$

 

지수법칙에 의해 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$\left\{ \left ( \sqrt[n]{a} \right )^m\right\}^n=\left ( \sqrt[n]{a} \right )^{mn}=\left\{ \left ( \sqrt[n]{a} \right )^n\right\}^m=a^m$

 

따라서 $\left ( \sqrt[n]{a} \right )^m$ 은 $a^m$ 의 n제곱근입니다. 양의 n제곱근입니다. 따라서  $\sqrt[n]{a^m}$ 와 같습니다.