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[5분 고등수학] 삼각형의 무게중심의 위치벡터 삼각형 ABC의 무게중심을 G라고 하겠습니다. 네개의 위치벡터를 정의할 수 있습니다. 점 A,B,C,G 의 위치벡터입니다. 이 위치벡터들을 $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{g}$ 라고 하겠습니다. 무게중심의 위치를 찾아봅시다. 변 BC의 중점을 M이라고 하겠습니다. 이때, 변 AM를 2:1로 내분하는 점이 무게중심입니다. 변 BC의 중점의 위치벡터는 아래와 같습니다. ​$\overrightarrow{OM}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ AM을 2:1로 내분하는 점 G의 위치벡터 아래와 같습니다. ​$\overrightarrow{OG}=\frac{ 2 \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OA} }{3}$ 아래와 같이 변.. 2022. 4. 22.
[5분 고등수학] 선분의 내분점과 외분점의 위치벡터 두 점 A와 B가 있다고 해봅시다. A의 위치벡터를 $\vec{a}$ , B의 위치벡터를 $\vec{b}$ 라고 놓겠습니다. 1. 내분점의 위치벡터 먼저 선분 $\overline{AB}$를 $m:n$ 으로 내분하는 점 P의 위치벡터 $\vec{p}$ 를 구해봅시다. 벡터 $\overrightarrow{AP}$ 와 $\overrightarrow{PB}$ 는 서로 평행하고, 크기 비는 $m:n$입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. $n\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{PB}$ 벡터 $\overrightarrow{AP}$ 는 $\vec{p}-\vec{a}$ 이고, $\overrightarrow{PB}$ 는 $\vec{b}-\vec{p}$ 입니다. 위 식에 대입하면 아래와 같.. 2022. 4. 21.
[5분 고등수학] 두 벡터의 평행조건, 세 점이 한 직선 위에 있을 조건 1. 두 벡터의 평행조건 두벡터 $\vec{a}$ 와 $\vec{b}$ 가 평행할 때, 기호로 아래와 같이 나타냅니다. $\vec{a} // \vec{b} $ 두 벡터가 평행하다면, 한 벡터를 다른 벡터의 실수배로 나타낼 수 있습니다. 방향은 같고 크기만 다를테니까요. $\vec{a}=k\vec{b}$ 2. 세 점이 한 직선 위에 있을 조건 세점이 A,B,C라고 해봅시다. 이 세점으로 두개의 벡터를 만들겠습니다. $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ 두 벡터가 평행하다면, 세 점은 한 직선위에 놓이게 됩니다. 따라서 아래 등식이 성립하면 됩니다. $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AB}$ 아래와 같이 변형합니다. $\overr.. 2022. 4. 20.
[5분 고등수학] 쌍곡선의 접선의 방정식(쌍곡선 밖의 한점) 오늘은 쌍곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 1. 초점이 x축 위에 있는 쌍곡선 초점이 x축 위에 있는 쌍곡선의 방정식은 아래와 같습니다. ​ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \ \left ( a^{2}+b^{2}=c^{2} \right )$ 쌍곡선 외부의 한 점 $(p,q)$에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 접선은 두개가 존재하는데요. 점이 어느 영역에 찍혀있느냐에 따라 다릅니다. 점근선을 그으면 네개의 영역으로 나뉘게 됩니다. 이 네 영역 어디에 점이 존재하느냐에 따라 두 접선이 생기는 방식이 달라집니다. 접하는 점을 $(x_{1},y_{1})$이라고 놓겠습니다. 접선의 방정식에 대입하면 아래 식이 성립합니다. $\frac{x_{1.. 2022. 4. 19.
[5분 고등수학] 쌍곡선의 접선의 방정식(쌍곡선 위의 한점) 1. 초점이 x축 위에 있는 쌍곡선 ​두 초점이 (c,0) 과 (-c,0) 인 쌍곡선의 방정식은 아래와 같습니다. ​$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \ \left ( a^{2}+b^{2}=c^{2} \right )$ 이 쌍곡선 위의 점 $(x_{1},y_{1})$ 에서의 접선의 방정식을 구해봅시다.$(x_{1},y_{1})$ 이 쌍곡선 위의 점이므로 아래 수식이 성립합니다. $​\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1 \ \left ( a^{2}+b^{2}=c^{2} \right )$ 양 변에 $a^{2}b^{2}$을 곱해줍니다. $b^{2}x_{1}^{2}-a^{2}y_{1}^{2}=a^{2}b^{2}$ (1).. 2022. 4. 18.
[5분 고등수학] 타원의 접선의 방정식(타원 밖의 한점) 오늘은 타원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 1. 초점이 x축 위에 있는 타원 초점이 x축 위에 있는 타원의 방정식은 아래와 같습니다. $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{ y^{2} }{ b^{2} } =1 \ \left ( a^{2}=b^{2}+c^{2} \right )$ 타원 외부의 한 점 $(p,q)$ 에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 타원에 접선을 그려보시면 접선은 두개가 있다는 것을 알 수 있습니다. 접하는 점을 $(x_{1},y_{1})$이라고 놓겠습니다. 접선의 방정식에 대입하면 아래 식이 성립합니다. $\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{1}^{2}}{b^{2}} =1$ 양변에 을 곱하면 아래와 같이 됩니다. $b^{2}x.. 2022. 4. 15.
[5분 고등수학] 타원의 접선의 방정식(타원 위의 한점) 1. 초점이 x축 위에 있는 타원 두 초점이 (c,0) 과 (-c,0) 인 타원의 방정식은 아래와 같습니다. $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \ \left ( a^{2} = b^{2}+c^{2} \right )$ 이 타원 위의 점 $(x_{1},y_{1})$ 에서의 접선의 방정식을 구해봅시다. $(x_{1},y_{1})$ 타원위의 점이니까 아래 수식이 성립합니다. $\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1$ 양변에 $a^{2}b^{2}$을 곱해줍니다. $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=a^{2}b^{2}$ (1) 다시 타원의 방정식으로 돌아갑시다. $(x_{1},y_{1})$에서 접선의 기울기를 구하기 위해 .. 2022. 4. 14.
[5분 고등수학] 포물선의 접선의 방정식(포물선 밖의 한점) 오늘은 포물선 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 1. 준선이 y축에 평행한 포물선 준선이 y축에 평행한 포물의 방정식은 아래와 같습니다. $y^{2}=4px$ 포물선 외부의 한 점 $(a,b)$에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 포물선 하나와 점 하나를 가지고 접선을 그려보시면 접선은 두개가 있다는 것을 알 수 있습니다. 접하는 점을 $(x_{1},y_{1})$ 이라고 놓겠습니다. 포물선의 방정식에 대입하면 아래 식이 성립합니다. $y_{1}^{2}=4 p x_{1}$ (1) 이제 $(x_{1},y_{1})$ 에서의 접선의 기울기를 구해봅시다. 포물선의 방정식으로 돌아갑시다. 포물선의 방정식을 x에 대해 미분하면 아래와 같습니다. $\frac{d y^{2}}{dx}=\frac{d\le.. 2022. 4. 14.
[5분 고등수학] 포물선의 접선의 방정식(포물선 위의 한점) 지난시간에 배운 음함수를 이용해서 포물선의 접선의 방정식을 구해봅시다. 포물선에 그을 수 있는 접선은 두가지가 있습니다. 포물선 위의 한 점에서 그은 접선과 포물선 밖의 한점에서 그은 접선입니다. 오늘은 포물선 위의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 1. 준선이 y축에 평행한 포물선 준선이 y축에 평행한 포물의 방정식은 아래와 같습니다. $y^{2} = 4 px$ 이 방정식 위의 점 (x1,y1) 위의 접선의 방정식을 구해봅시다. 기울기를 알면 되겠죠. 포물선의 방정식을 미분합시다. $\frac{d\left ( y^{2} \right )}{dx}=\frac{d\left ( 4 px \right )}{dx}$ 좌변은 체인룰을 적용하고 우변은 미분해줍니다. $\frac{d\left ( y^{2} .. 2022. 4. 13.
[5분 고등수학] 음함수의 미분 음함수는 $f(x,y)=0$ 의 모양으로 표현되어있는 함수입니다. 우리가 지금까지 다룬 함수의 모양은 $y=f(x)$ 였죠. 이런 형태의 함수를 양함수라고 부릅니다. 음함수를 양함수 형태로 표현할 수도 있고, 양함수를 음함수 형태로 표현할 수도 있습니다. 앞에서 배운 타원, 쌍곡선이 대표적인 음함수입니다. 더 이전에 배운 '원'도 있군요. 여기서 한가지 의문이 들어야 합니다. "앗, 얘내들 함수 아니잖아??" (왜 함수가 아니지??라는 의문이 드는 학생들은 큰일난겁니다. 늦었다고 생각할 때가 가장 늦은 때이니 더 열심히 하는걸로) 네 맞습니다. 엄밀히 말하면 함수가 아니죠. 하지만 함수로 놓아야 편하기 때문에 '함수 취급'을 합니다. 근거야 만들면 되니까요. 원을 하나 떠올려 보죠. $x^{2}+y^{2.. 2022. 4. 12.
[5분 고등수학 ] 쌍곡선의 방정식의 평행이동과 일반형 지난시간에 x축위에 초점이 있는 쌍곡선의 방정식과, y축 위에 초점이 있는 쌍곡선의 방정식을 유도했습니다. $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1$ 오늘은 이 방정식을 평행이동해보겠습니다. x 축으로 m 만큼, y 축으로 n 만큼 평행이동하면 아래 수식이 됩니다. $\frac{\left ( x-m \right )^{2}}{a^{2}}-\frac{\left ( y-n \right )^{2}}{b^{2}}=\pm 1$ 이 수식을 이용하면 x축 또는 y축과 평행한 직선 위에 초점이 있는 모든 쌍곡선을 표현할 수 있습니다. 고등학교 과정에서는 기울어진 직선 위에 초점이 있는 경우를 다루지 않기 .. 2022. 4. 11.
[5분 고등수학] 쌍곡선의 방정식의 유도 먼저 쌍곡선의 정의부터 알아봅시다. 쌍곡선의 정의는 "두 정점으로 부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합"입니다. 좌표평면에서 예를 들어볼게요. 두 정점을 F와 F'이라고 하고 아무 위치에나 찍겠습니다. 이 두 점으로부터 거리의 차가 일정한 점들을 찍으면 쌍곡선이 됩니다. 다행히 고등학교 과정에서는 정점을 아무 위치에나 찍지는 않구요. x축과 y축에 평행한 직선 위에 찍습니다. 단순한 형태만 다루자는 것이지요. 1. 두 초점이 x축에 있는 경우 x축 위에 두 정점이 찍힌 경우를 생각해 봅시다. 두 정점은 원점 대칭의 위치에 찍겠습니다. F(c,0) 과 F'(-c,0) 입니다. 이 두 정점은 '초점'이라고 부릅니다. 그리고 이 초점으로 부터 거리의 차가 일정한 점들로 만들어진 쌍곡선을 하나 그리겠습니다. 쌍.. 2022. 4. 8.
[5분 고등수학] 타원의 방정식의 평행이동과 일반형 지난시간에 중심이 원점인 타원의 방정식을 유도했습니다. $\frac{{x}^2}{{a}^2}+\frac{{y}^2}{{b}^2}=1$ 이 방정식을 평행이동해보겠습니다. x축으로 m, y축으로 n 평행이동하면 아래와 같이 됩니다. $\frac{{\left(x-m\right)}^2}{{a}^2}+\frac{{\left(y-n\right)}^2}{{b}^2}=1$ 위 식을 이용하면 두 초점이 모두 x축 위에 있거나 y축 위에 있는 모든 타원을 표현할 수 있습니다. 이번에는 위 식을 전개해봅시다. 먼저 양변에 ab의 제곱을 곱해줍시다. ${b}^2{\left(x-m\right)}^2+{a}^2{\left(y-n\right)}^2={a}^2{b}^2$ 전개합시다. ${b}^2{x}^2-2mx{b}^2+{b}^2{.. 2022. 4. 7.
[5분 고등수학] 타원의 방정식 유도 (2) x축 위에 두 초점이 있는 경우 지난 강의에 이어서 두 정점이 y축 위에 있는 경우 타원의 방정식을 유도해봅시다. 2) 두 정점이 y축 위에 있는 경우 두 정점을 y축 위에, 원점 대칭으로 찍겠습니다. 정점 F의 좌표는 (0,c)이고, F'의 좌표는 (0,-c)입니다. 이 정점들로 부터 거리의 합이 일정한 점들로 이루어진 타원을 그리겠습니다. 이 타원이 x축과 만나는 점을 (a,0)과 (-a,0)이라고 합시다. y축과 만나는 점을 (0,b)와 (0,-b)라고 놓겠습니다. 이 네개의 점을 타원의 '꼭지점'이라고 합니다. 타원의 정의에 의해 점 (0,b)에서도 두 정점으로 부터의 거리의 합이 일정합니다. 그 값을 b로 표현해봅시다. 먼저 정점 F로 부터 (0,b)에 이르는 거리는 (b-c)입니다. 정점 F'으로 부터 (0,-b)에 이르는 .. 2022. 4. 6.
[5분 고등수학] 타원의 방정식 유도 (1) x축 위에 두 초점이 있는 경우 타원의 정의는 아래와 같습니다. "두 정점으로 부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합" 좌표 평면에서 예를 들어보겠습니다. 두 정점을 F와 F'이라고 합시다. 두 점으로 부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합은 아래와 같습니다. 고등학교 과정에서는 정점을 아무 위치에나 찍지 않고, x축에 평행한 직선 위 또는 y축에 평행한 직선 위에 찍습니다. 1. 두 정점이 x축 위에 있는 경우 두 정점을 x축 위에, 원점 대칭으로 찍겠습니다. 정점 F의 좌표는 (c,0)이고, F'의 좌표는 (-c,0)입니다. 이 정점들로 부터 거리의 합이 일정한 점들로 이루어진 타원을 그리겠습니다. 이 타원이 x축과 만나는 점을 (a,0)과 (-a,0)이라고 합시다. y축과 만나는 점을 (0,b)와 (0,-b)라고 놓겠습니다. 이 네개.. 2022. 4. 5.
[5분 고등수학] 포물선 방정식의 평행이동과 일반형 지난시간에 두가지 형태의 포물선의 방정식을 유도했습니다. - 대칭축이 x축에 평행한 포물선의 방정식 - 대칭축이 y축에 평행한 포물선의 방정식 한 경우씩 평행이동과 일반형에 대해 알아봅시다. 1. 대칭축이 x축에 평행한 경우 대칭축이 x축에 평행한 포물선의 방정식은 아래와 같습니다. ${y}^2=4px$ 초점, 준선, 꼭지점, 대칭축은 아래와 같습니다. 초점 : (p,0) 준선 : x=-p 꼭지점 : (0,0) 대칭축 : y=0 평행이동을 해봅시다. 위 방정식을 x축으로 m, y축으로 n 만큼 평행이동하겠습니다. ${\left(y-n\right)}^2=4p\ ​ 초점, 준선, 꼭지점, 축도 함께 이동합니다. 이동한 결과는 아래와 같습니다. 초점 : $(p+m,0)$ 준선 : $x=-p+m$ 꼭지점 : $.. 2022. 4. 4.
[5분 고등수학] 포물선의 방정식 유도 포물선의 방정식을 유도해볼겁니다. 먼저 포물선의 정의부터 알아봅시다. "평면 위에 있는 고정된 점 $F$와, 이 점을 지나지 않는 고정된 직선 $l$에 이르는 거리가 같은 점의 자취" 위 정의에서 고정된 점을 '정점'이라고 부릅니다. 고정된 직선은 '정직선'이라고 부릅니다. 자취라는 말이 생소하신 분들은 모임 또는 집합으로 이해하시면 됩니다. 이 정의를 좌표평면에 표현해보겠습니다. 좌표평면에 점 $F$가 있고, 이 점을 지나지 않는 직선 $l$이 있습니다. 점 $F$와 직선 $l$에 이르는 거리가 같은 점들을 모아봤더니, 포물선이 되었습니다. 다행히 우리가 배우는 고등학교 과정에서는 직선 $l$이 $x$축이나 $y$축에 평행한 직선만을 다룹니다. 이번에는 포물선에 방정식을 유도해봅시다. 포물선의 방정식은.. 2022. 4. 1.
[5분 고등수학] 이차곡선 한눈에보기 이차곡선을 가장 먼저 발견한 사람은 '아폴로니우스'입니다. 원뿔 두개를 아래와 같이 붙이고, 하나의 평면으로 이리저리 자른 모양에서 이차곡선을 발견했습니다. 출처 : https://www.ck12.org/book/CK-12-Algebra-II-with-Trigonometry-Concepts/section/10.0/ 이렇게 잘라내다 발견한 것도 대단한데, 아폴로니우스는 위 각각 도형들의 기하학적 정의까지 찾아냅니다. 예를들어 타원의 기하학적 정의는 "두 점에서 거리의 합이 같은 점들의 집합" 인데, 이런 정의를 찾아낸 것이죠. 시간이 흘러서 좌표평면이라는 개념이 등장하게 됐고, x와 y의 2차식으로 만들 수 있는 곡선이 궁금했습니다. 그래서 아래와 같이 이차식을 정의해봤습니다. $a{x}^2+b{y}^2+.. 2022. 3. 31.
[5분 고등수학] 모평균 추정의원리 표본평균의 평균은 모평균과 같고, 표본평균의 분산은 모분산을 표본의 크기로 나눈 것과 같다는 것을 배운 상태입니다. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. $E\left(\overline {X}\right)=m$ $V\left(\overline {X}\right)=\frac{ {\sigma }^2}{n}$ 표본의 크기 n이 충분히 큰 경우에 표본평균의 분포가 정규분포를 따른다는 것도 배웠습니다. $\overline {X}\sim N\left(m,\frac{ {\sigma }^2}{n}\right)$ 위 성질을 이용하면 모평균의 구간을 추정해볼 수 있습니다. 먼저 표본평균의 분포를 그래프로 그려봅시다. 위 그래프에서 넓이가 95% 인 구간을 표시하면 아래와 같습니다. 95% 신뢰구간은 아래와 같습니다. $m-.. 2022. 3. 29.
[5분 고등수학] 표본평균의 분포 평균이 m이고, 분산이 σ² 모집단에서 표본을 무수히 많이 뽑을 때, 표본평균의 평균과 표본평균의 분산이 아래와 같다는 것을 지난 강의에서 배웠습니다. $E\left(\overline {X}\right)=m$ $V\left(\overline {X}\right)=\frac{ {\sigma }^2}{n}$ 이때 표본평균의 분포는 어떻게 될까요? 표본평균의 분포는 모집단이 정규분포를 따르느냐에 따라 두가지로 나뉩니다. 1) 모집단이 정규분포를 따른다면, 표본평균의 분포도 정규분포를 따른다. 평균은 모평균과 같고, 분산은 모분산을 표본의 크기로 나눈 것과 같다. 2) 모집단이 정규분포를 따르지 않더라도, 표본의 크기 n이 충분히 크면 표본평균의 분포는 정규분포를 따른다. 평균은 모평균과 같고, 분산은 모분산을 .. 2022. 3. 28.
[5분 고등수학] 표본평균의 평균과 분산 먼저 모집단에서 표본을 뽑는 상황을 가정해봅시다. 모집단은 영어로 population 이라고 합니다. 모집단의 평균을 m, 모집단의 분산을 σ² 라고 합시다. 모집단의 평균이나 분산과 같은 모집단의 통계량을 '모수'라고 합니다. 모수 : 모집단의 통계량 모집단을 하나 가정하고 표본을 뽑아봅시다. 모집단은 대한민국 국민이고, 우리가 궁금한 것은 대한민국 국민의 키라고 해봅시다. 대한민국 국민 전체 키의 평균을 냈더니 m이었고, 분산이 σ² 였습니다. 그런데, 이런 평균과 분산이 존재하는 것은 확실하지만 실제로 구할 수 가 있을까요? 모든 국민을 다 조사해서 구하는 것은 불가능합니다. 이런 이유로 표본을 뽑는 것입니다. 국민의 일부를 표본으로 뽑아서 그 키를 측정하는 겁니다. 1) 표본평균의 평균 첫번째 표.. 2022. 3. 17.
[5분 고등수학] 이항분포와 정규분포의 관계 확률분포 X가 이항분포를 따르면 아래와 같이 나타냅니다. (n은 시행횟수, p는 사건 발생 확률) $X\sim B\left(n,p\right)$ 이항분포의 확률식을 써보면 아래와 같습니다. $P\left(X=x\right)=_n{C}_x\cdot {p}^x\cdot {\left(1-p\right)}^{n-x}$ 확률분포 X가 정규분포를 따르면 아래와 같이 나타냅니다. m은 평균, 시그마제곱은 분산입니다. $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ 이항분포에서 시행횟수 n을 무한이 키우면 이항분포는 정규분포에 가까워갑니다. $\lim _{{n}\to {\infty }}^{ }{X\sim B\left(n,p\right)}\ \ \ =\ N\left(np,npq\right)$ 고등학.. 2022. 3. 16.
[5분 고등수학] 정규분포의 표준화 원리 정규분포의 표준화는 평균이 m이고 분산이 시그마제곱인 정규분포를 평균이 0이고 분산이 1인 표준정규분포로 바꾸는 것을 의미합니다. $N\left(m,{\sigma }^2\right)\ \ \ \to \ \ \ N\left(0,{1}^2\right)$ 정규분포의 확률변수를 X라고 놓고, x를 어떻게 변형해야 표준정규분포를 따르게 될 지 생각해봅시다. 먼저 X의 평균은 m인데, 평균을 0으로 만들고 싶은 상황이므로 X에서 m을 빼면 됩니다. $E\left(X\right)=m$ $E\left(X-m\right)=E\left(X\right)-m=0$ 따라서 확률변수는 아래와 같이 바꿔주면 됩니다. $X\ \ \ \to \ \ \ X-m$ 분산을 1로 만들기 위해서 X-m을 시그마로 나눠줍시다. $V\left(X.. 2022. 3. 15.
[5분 고등수학] 정규분포함수 이해하기 정규분포 함수식은 아래와 같습니다. $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{\left(x-m\right)}^2}{2{\sigma }^2}}$ 이 함수의 개형을 알아보기 위해서 함수를 간단하게 바꿔보겠습니다. $f\left(x\right)=A{e}^{-B{x}^2}$ 더 간단한 함수부터 출발합시다. $f\left(x\right)=A{e}^{-{x}^2}$ A와 B는 양수라고 가정하겠습니다. 위 함수는 x가 0일 때 A라는 값을 갖고, x가 커질 수록 함수값이 작아집니다. x가 작아질 때도 함수 값이 작아집니다. 따라서 개형은 아래와 같습니다. 이제 위 함수에서 x제곱에 B라는 상수를 곱해봅시다 . $f\left(x\right)=A{e}^{-.. 2022. 3. 14.
[5분 고등수학] 이항분포의 분산,표준편차 유도하기 지난 글에서 이항분포의 평균을 구해봤는데요. 오늘은 분산을 구해보겠습니다. 확률변수 X가 이항분포 B(n,p)를 따른다고 합시다. 확률변수 X의 분산은 아래와 같이 구할 수 있습니다. $V\left(X\right)=E\left({X}^2\right)-{\left\{{E\left(X\right)}\right\}}^2$ 이항분포의 평균은 np이므로 아래와 같이 변형됩니다. $V\left(X\right)=E\left({X}^2\right)-{\left(np\right)}^2$ x제곱의 평균을 시그마형태로 쓰면 아래와 같습니다. $V\left(X\right)=\sum _{x=0}^n\left\{{{x}^2\cdot _n{C}_x\cdot {p}^x\cdot {\left(1-p\right)}^{n-x}}\righ.. 2022. 3. 11.
[5분 고등수학] 이항분포의 평균 유도하기 이항분포의 평균, 분산, 표준편차를 유도해봅시다. 이항분포는 기호로 B(n,p) 로 표현합니다. n은 시행횟수고, p는 사건 발생 확률입니다. 이항분포의 확률을 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. $P\left(X=x\right)=_n{C}_x{p}^x{\left({1-p}\right)}^{n-x}$ 1-p는 q로 나타냅니다. $P\left(X=x\right)=_n{C}_x{p}^x{q}^{n-x}$ 이항분포의 평균, 분산, 표준편차는 아래와 같습니다. $E\left(X\right)=np$ $V\left(X\right)=npq$ $\sigma \left(X\right)=\sqrt{npq}$ 먼저 평균을 유도해보겠습니다. 평균은 아래와 같이 계산합니다. $E\left(X\right)=\sum _{x=0}^.. 2022. 3. 10.
[5분 고등수학] 이항분포 이해하기 이항분포는 영어로 binomial distribution 이구요. 이항분포에서 '이'라는 단어는 둘(이)입니다. 항이 두개인 분포라는 말입니다. 항이 둘이라는 것은 확률이 '어떤 사건의 발생' '발생하지 않음'두가지로만 나뉜다는 말입니다. 독립시행의 기억을 떠올려봅시다. 1회 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 P이고, n번의 독립시행에서 사건 A가 r회 일어날 확률은 아래와 같습니다. $_n{C}_r{p}^r{\left({1-p}\right)}^{n-r}$ ​ 이때 r을 확률변수 X로 놓으면 확률 분포는 아래와 같습니다. $P\left(X=x\right)=_n{C}_x{p}^x{q}^{n-x}$ ​ 이번에는 표로 나타내봅시다. X 0 1 ... n 합 $P(X=x)$ ${n}C_{0}p^{0}q^{n}$.. 2022. 3. 8.
[5분 고등수학] 확률변수 aX+b의 평균, 분산, 표준편차 확률변수 aX+b에 대한 세가지 등식을 유도해보겠습니다. 세가지 등식은 아래와 같습니다. 1) $ E\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b$ 2) $ V\left(aX+b\right)={a}^2V\left(X\right)$ 3) $ \sigma \left(aX+b\right)=\left|{\sigma }\right|V\left(X\right)$ 하나씩 유도해봅시다. 1) $ E\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b$ 유도하기 위해서 아래와 같은 표를 그리겠습니다. X $x_{1}$ ... $x_{n}$ 합계 P(X=x) $p_{1}$ ... $p_{n}$ 1 확률변수 X의 기댓값은 아래와 같이 계산됩니다. $E\left(X\right)=\sum _{i.. 2022. 3. 7.
[5분 고등수학] 이산확률변수의 평균, 분산, 표준편차 X라는 확률변수가 있다고 해봅시다. x라는 확률변수는 x1부터 xn까지의 값을 갖구요. 각각의 확률은 p1부터 pn이라고 합시다. 아래와 같이 표로 나타낼 수 있습니다. X $x_{1}$ $x_{2}$ ... $x_{n}$ 합계 $P(X=x)$ $p_{1}$ $p_{2}$ ... $p_{n}$ 1 먼저 이산확률변수의 평균을 구해봅시다. 1) 평균 평균은 기댓값이라고도 합니다. 확률변수 X의 기댓값은 영어로 expectation이기 때문에 앞글자 E를 따서 E(X)라고 놓습니다. E(X)는 아래와 같이 계산합니다. $E\left(X\right)={x}_1{p}_1+{x}_2{p}_2+...+{x}_n{p}_n$ 간단한 예제를 통해서 직관적으로 이해해봅시다. 동전던지기 예제가 있습니다. 동전던지기를 하는데,.. 2022. 3. 4.
[5분 고등수학] 이산확률변수 vs 연속확률변수 확률변수는 이산확률변수와 연속확률변수로 나눠집니다. 이산확률변수와 연속확률변수를 비교하면서 공부해봅시다. 이산확률변수의 이산의 뜻은 떠날 '이' 흩어질 '산'입니다. 떨어져서 흩어져 있는 확률변수라는 말입니다. 연속확률변수는 이산의 반대입니다. 끊어져 있지 않고, 연결되어 있는 확률변수입니다. 간단한 예시를 통해서 이해해봅시다. 이산확률변수의 대표적인 예시는 '동전던지기' 입니다. 동전을 한 번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 X라고 한다면 아래와 같은 표로 정리할 수 있습니다. 확률변수 X는 0과 1이라는 두개의 값을 갖습니다. X 0 1 P(X) 0.5 0.5 이산확률변수의 특징은 표로 나타낼 수 있다는 것이구요. 그래프로 그리면 아래와 같습니다. 이 함수를 확률질량함수라고 부릅니다. 확률질량.. 2022. 3. 3.
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