[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (29) 지수법칙 유리수버전 ③ 거듭제곱1

지수법칙 유리수버전 ③ 거듭제곱1

지수를 유리수 영역으로 확장했습니다. 지수가 분수형태인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. 

 

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

 

이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 세번째 지수법칙인 거듭제곱1에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 정수인 경우 성립하는 거듭제곱1 법칙은 아래와 같습니다. 

 

$\left ( a^p \right )^q=a^{pq}$   (1)

 

위 식 좌변의 p와 q를 유리수라고 놓고 좌변을 변형하여 우변을 유도할 것입니다. 성공한다면 위 법칙은 유리수 영역에서도 성립하는 것입니다.

 

p와 q가 아래와 같은 유리수라고 합시다. 

 

$p=\frac{d}{c}$ 

$p=\frac{f}{e}$

 

위 식을 1번 식의 좌변에 대입하면 1번 식의 좌변은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$\left ( a^p \right )^q=\left ( a^\frac{d}{c} \right )^\frac{f}{e}$

 

지수가 분수인 경우에 정의한 수식을 적용하여 우변의 괄호 안을 먼저 변형하면 아래와 같습니다. 

 

$\left ( a^p \right )^q=\left ( \sqrt[c]{a^d} \right )^\frac{f}{e}$

 

아래와 같이 한번 더 변형합시다. 

 

$\left ( a^p \right )^q=\sqrt[e]{\left ( \sqrt[c]{a^d} \right )^f}$

 

거듭제곱근의 성질 6번째를 이용하여 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$\left ( a^p \right )^q=\sqrt[ec]{\left ( \sqrt[c]{a^d} \right )^{fc}}$

 

거듭제곱근의 성질 4번째를 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\left ( a^p \right )^q=\sqrt[ec]{\left ( \sqrt[c]{a^{dfc}} \right )}$

 

지수가 분수인 경우에 정의한 수식을 적용하여 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\left ( a^p \right )^q=\sqrt[ec]{a^\frac{dfc}{c}}$

 

아래와 같이 약분해줍니다. 

 

$\left ( a^p \right )^q=\sqrt[ec]{a^{df}}$

 

지수가 분수인 경우에 정의한 수식을 적용하여 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\left ( a^p \right )^q=a^\frac{df}{ce}$

 

우변에서 치환했던 값을 원래대로 되돌려 놓겠습니다. 

 

$\left ( a^p \right )^q=a^{pq}$

 

지수가 유리수일 때, 세번째 지수법칙이 성립한다는 것을 보였습니다.