[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (24) 지수법칙 정수버전 ⑤ 거듭제곱3

지수법칙 정수버전 ⑤ 거듭제곱3

지수를 정수 영역으로 확장했습니다. 지수가 0인 경우와 음수인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. 

 

$1=a^0$

$\frac{1}{a^n}=a^{-n}$

 

이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 다섯번째 지수법칙인 거듭제곱3 에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 자연수인 경우 거듭제곱3 법칙은 아래와 같습니다. 

 

$\left ( \frac{a}{b}\right )^n=\frac{a^n}{b^n}$ ......(1)

 

지수를 정수로 바꿔도 성립하는지 확인해봅시다.

 

1) n이 0인 경우

1번 식에 n에 0을 넣으면 아래와 같습니다. 

 

$\left ( \frac{a}{b}\right )^0=\frac{a^0}{b^0}$

 

어떤 실수의 0제곱을 1로 정의했으므로 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$1=1$

 

등식이 성립하므로 n이 0일 때 나눗셈에 대한 지수법칙이 성립함을 알 수 있습니다. 

 

2) n이 음수인 경우

지수가 음수이므로 1번 식의 좌변을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$\frac{1}{\left ( \frac{a}{b}\right )^{-n}}=\frac{a^n}{b^n}$

 

-n 은 자연수이므로 자연수의 지수법칙의 거듭제곱 3번 법칙을 적용할 수 있습니다. 좌변에 적용합시다. 

 

$\frac{1}{\frac{a^{-n}}{b^{-n}}}=\frac{a^n}{b^n}$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$\frac{b^{-n}}{a^{-n}}=\frac{a^n}{b^n}$

 

음수인 지수에서 정의한 $\frac{1}{a^n}=a^{-n}$ 를 적용하면 좌변은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$\frac{a^n}{b^n}=\frac{a^n}{b^n}$

 

등식이 성립하므로 n이 음수일 때 지수법칙의 거듭제곱 3법칙이 성립함을 알 수 있습니다.