[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (19) 지수를 정수로 확장

지수를 정수로 확장

지수는 자연수의 거듭제곱에서 처음 정의된 개념입니다. a 가 n번 곱해졌을 때 아래와 같이 위첨자를 이용하여 간단히 나타내기로 했습니다. 이때 위첨자 n이 지수입니다. 

 

$a\times a \times \cdots \times a=a^n$

 

오늘은 이 지수를 정수 범위로 확장해봅시다. 아주 자연스럽게 정수 범위로 확장해보겠습니다. 아래와 같이 a의 세제곱에서 출발합시다. 

 

$a^3$

 

$a^3$ 에서 $a^2$이 될 때 $\frac{1}{a}$ 을 곱해줍니다.  

 

 

$a^2$에서 $a^1$ 이 될 때도 $\frac{1}{a}$ 을 곱해줍니다. 

 

 

$a^1$에서 $a^0$이 될 때도 $\frac{1}{a}$ 을 곱해주어 $a^0$을 정의해봅시다.

 

 

1이 나옵니다. 자연스럽게  $a^0$이 정의되긴 했는데, 이렇게 해도 되나? 라는 질문을 던져봐야 합니다. 이렇게 정의해도 문제가 없는지는 뒤에서 알아봅시다. 

 

더 진행하면 음수 제곱근도 정의할 수 있습니다. 몇번 더 진행해봅시다. 

 

 

위 규칙대로면 음수 제곱근은 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

 

자연스러운 순서를 따라가다 보니 0제곱근와 음수 제곱근이 정의되긴 했는데 괜찮을까요? 괜찮은지 확인해봐야됩니다. 위 상황을 다시 설명하면 1과 $\frac{1}{a^n}$ 대신 아래 기호를 사용한다는 뜻과 같습니다. 이렇게 바꿔 쓰는것에 문제가 없는지 확인해야하는 거구요. 

 

$1=a^0$

$\frac{1}{a^n}=a^{-n}$

 

우리가 지수를 계산에 사용하는 상황은 지수법칙입니다. 지수가 자연수 인 경우 유도한 아래 다섯가지 지수법칙에서 문제가 없는지 확인해보면 됩니다. 다음시간부터 하나씩 확인해봅시다.