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그래디언트의 이해 (2) 방향도함수 이변수함수인 $f(x,y)$에 그래디언트를 적용하면 아래와 같습니다.  $\bigtriangledown f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{i}$ 결과는 벡터입니다. 이 벡터의 크기와 방향이 어떤 의미를 갖는지 알아봅시다. 이 벡터를 이해하려면 방향도함수가 무엇인지 먼저 알아야 합니다.  방향도함수곡선 $y=f(x)$ 위의 한 점 $(x,y)$ 에서의 접선의 기울기는 아래와 같습니다. $\frac{dy}{dx}=f'(x)$ $f(x)$와 같은 1변수 함수에서는 접선의 기울기가 하나의 값으로 정의됩니다. 이때 $f'(x)$를 도함수라고 부릅니다. 이번에는 도함수 개념을 이번수 함수 $f(x,y)$로 확.. 2023. 3. 13.
그래디언트의 이해 (1) 정의 그래디언트는 함수와 함께 정의됩니다. 함수 $f(x,y)$의 그래디언트는 아래와 같습니다. $\bigtriangledown f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}$ 함수 $f(x,y,z)$의 그래디언트는 아래와 같습니다. $\bigtriangledown f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$ 어떤 함수의 그래디언트는 벡터함수가 된다는 것을 알 수 있습니다. 그래디언트만 단독으로 정의할 수도 있습니다. 변수가 2개인 그래디.. 2023. 2. 27.
미분형식 이해하기 (3) 전미분공식 유도 미분형식의 개념을 3차원으로 확장하면 이변수 함수의 전미분 공식이 유도됩니다. $z=f(x,y)$라는 곡면이 있다고 합시다. 이 곡면 위의 한 점 $P(a,b,c)$에서의 접선을 $\vec{v}$라고 놓겠습니다. $dx, dy, dz$를 정의할 건데요. 각각을 접선벡터 $\vec{v}$의 x,y,z 방향 성분으로 정의합시다. 이제 $dx,dy,dz$ 사이의 관계식을 구해볼겁니다. 점 P에서의 접평면의 방정식을 이용합시다. 점 P에서의 접평면의 방정식은 아래와 같습니다. $(z-a)=f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b)$ 접평면 방정식의 유도는 링크를 참고하세요. 점 $(a+dx(\vec{v}),b+dy(\vec{v}),c+dz(\vec{v}))$ 는 벡터 $\vec{v}$의 종점이므로.. 2023. 2. 24.
미분형식 이해하기 (2) dx와 dy의 부활 2차원 평면에 어떤 함수 $y=f(x)$가 있다고 합시다. 이 함수 위의 한 점 $(x,f(x))$에서의 접선의 기울기는 $f'(x)$ 입니다. 이 접선과 방향이 같은 벡터를 $\vec{v}$라고 놓겠습니다. $\vec{v}$의 크기는 얼마이던 상관 없습니다. 이제 $dx$와 $dy$를 새롭게 정의해봅시다. $dx$를 $\vec{v}$의 x축 성분을 구하는 함수라고 정의합시다. $dy$를 $\vec{v}$의 y축 성분을 구하는 함수라고 정의합시다. 이렇게 정의하면 $\vec{v}$의 크기가 얼마건 아래 등식이 성립합니다. $dy=f'(x)dx$ 이제 $dy$와 $dx$를 각각 사용할 수 있게 되었습니다. 2023. 2. 21.
미분형식 이해하기 (1) dx와 dy의 문제점 라이프니츠는 $x$와 $y$의 아주 작은 증가량을 dx와 dy라는 기호를 이용하여 나타냈습니다. 함수 f(x)에서 dx와 dy의 관계는 아래와 같습니다. $dy=f(x+dx)-f(x)$ 라이프니츠는 dx와 dy를 무한히 작은 양이라는 의미인 무한소라고 가정합니다. 무한소를 이용하여 순간변화율을 아래와 같이 정의했습니다. $\frac{dy}{dx}$ 무한소를 0은 아니지만 어떤 수 보다도 작은 수라고 정의했습니다. 그런데 dy와 dx가 0보다 큰 값을 가지면 $\frac{dy}{dx}$은 순간변화율이 아니게 되는데 이러한 모순은 해결하지 않고 넘어갔습니다. 이후 실수체계가 확립되고 나서 무한소는 존재할 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. 무한소를 수로 놓는 순간 0과 무한소 사이에 있는 또다른 수를 정의할 수 .. 2023. 2. 19.
3차원 곡면에서 접평면 구하는 방법 (접평면의 방정식 유도) 2차원 평면에서의 곡선은 $y=f(x)$ 형태로 표현됩니다. 예를 들면 $y=x^2$이 있습니다. 3차원 공간에서의 곡면은 $z=f(x,y)$ 형태로 표현됩니다. 예를 들면 $z=x^2+y^2$이 있습니다.  $z=x^2+y^2$의 그래프를 그려보면 아래와 같습니다. 빨간색이 x축, 초록색이 y축, 파란색이 z축입니다.   포물선을 z축을 중심으로 회전시킨 모양입니다. $z=x^2+y^2$ 의 x자리에 0을 한번 넣어봅시다. 아래와 같은 이차함수됩니다.  $z=y^2$ x가 0이라는 것이 어떤 의미일까요? $z=x^2+y^2$ 에서 x가 0인 점들을 생각해봅시다. 이 점들은 아래와 같이 x=0 인 평면으로 $z=x^2+y^2$ 을 자른 단면과 같습니다. 단면의 형상은 $z=y^2$인 포물선입니다.   이.. 2023. 2. 16.
미분과 극한 제대로 이해하기 (3) 극한을 엄밀하게 정의한 입실론-델타 우리는 극한이라는 개념을 도입하여 함수 $y=x^2$ 위의 한 점 $A(a,a^2)$ 에서 그은 접선의 기울기를 아래와 같이 정의했습니다. A에서의 접선의 기울기 = $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2ah+h^2 }{h}$ 이 값은 h가 0으로 갈 때, $\frac{2ah+h^2 }{h}$ 은 2a에 한 없이 가까워져 가므로 극한값은 2a 입니다. 그런데 누군가 이렇게 묻습니다. 2a로 한 없이 가까워져 간다는걸 어떻게 확신하는데? h는 0에 아주 가까워지면서 뭔가 다른 값이 되지 않으리란 보장이 있어? 질문을 듣고 다시 생각해 보니 헷갈립니다. 더 엄밀한 정의가 필요해 보입니다. 이러면 어떨까요? $\frac{2ah+h^2 }{h}$와 2a의 차이를 어떤 값으로 잡아도 , 차이를 그 .. 2023. 1. 30.
미분과 극한 제대로 이해하기 (2) 극한의 등장 지난시간에 만들었던 직선 AB의 기울기 수식은 아래와 같습니다. 직선 AB의 기울기 = $\frac{2ah+h^2 }{h}$ 아래 그림에서 유도했습니다. 우리는 한 가지 딜레마에 빠진 상태입니다. h가 0에 가까워져 가면 분명 기울기는 2a에 가까워져 간다는 것을 알 수 있습니다. 또한 x=a 에서 접선의 기울기가 존재한다는 것도 알 수 있습니다. 접선의 기울기는 2a 일 것입니다. 하지만 위 식에서 h는 0일 수 없기 때문에 위 식을 이용해서 x=a 에서의 접선의 기울기를 구할 수가 없습니다. 사람들은 함수의 극한이라는 개념을 만들어냈습니다. x가 한없이 a에 가까워질 떄 f(x) 가 한없이 L에 가까워지면, L을 극한값이라고 정의했습니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. $\lim_{x\righta.. 2023. 1. 30.
미분과 극한 제대로 이해하기 (1) 미분의 모순 미분은 함수의 접선의 기울기를 구하는 것입니다. 우리는 미분을 이해하고 있다고 생각하지만 사실은 아닐 수도 있습니다. 오늘은 미분이 가지고 있는 모순에 대해 이야기해보려고 합니다. 먼저 미분의 원리를 알아보기 위해 간단한 함수를 가지고 접선의 기울기를 구해봅시다. 아래와 같은 2차함수가 있다고 합시다. $y=x^2$ 입니다. 점 A에서의 접선의 기울기를 구해볼 것입니다. A보다 값이 큰 점 B를 하나 더 설정합니다. 이제 A와 B를 연결한 직선을 만들어줍니다. 이 직선의 기울기를 수식으로 표현한 뒤, 점 B를 점점 A에 가깝게 만들어주다 보면 기울기가 A의 접선의 기울기에 가까워져 갑니다. 위 상황을 수식으로 표현해봅시다. 점 A의 좌표를 $(a,a^2)$ 이라고 놓겠습니다. 점 B의 좌표는 $(a+h,.. 2023. 1. 26.
복소수가 처음 등장한 책 (카르다노의 아르스 마그나) 이탈리아의 수학자 카르다노는 3차방정식의 해법을 담은 책인 아르스 마그나의 저자로 다들 한번쯤 들어본 이름일 겁니다. 카르다노의 아버지도 유능한 수학자였는데, 레오나르도 다 빈치의 친구였습니다. 카르다노는 의대에 진학했는데 학생 때부터 도박을 즐겼습니다. 의사가 된 후에도 버는 돈이 만족스럽지 않아 도박을 해서 큰 돈을 날리기도 합니다. 후에는 밀라노 대학의 기하학 교수가 됩니다. 카르다노는 니콜라 폰타나라는 사람이 발견한 2차항이 없는 3차 방정식 해법을 자신이 발견한 것처럼 책을 출간했는데, 그 책이 아르스 마그나입니다. 아르스마그나는 복소수가 처음 등장한 책이기도 합니다. 오늘은 아르스마그나에 복소수가 등장한 대목을 소개하려고 합니다. 아르스마그나는 1545년에 출간한 책이고, PDF도 공개되어 있.. 2023. 1. 21.
기원전 1700년 바벨로니아 석판 숫자 설명 아래 석판은 기원전 1700년경에 바벨로니인들이 만든 것으로 추정되는 점토판입니다. 표면에는 사각형과 대각선이 새겨져 있고, 바벨로니아 숫자들이 새겨져 있습니다. MMA라는 기관에서 재구성한 그림은 아래와 같습니다. 가운데 첫째 줄에 써있는 숫자는 1 24 51 10 입니다. 바벨로니아 인들은 60진법을 사용했으므로 아래와 같이 계산됩니다. $1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}$ 계산해보면 아래와 같습니다. > 1+24/60+51/(60^2)+10/(60^3) [1] 1.414213 1.414213 뭔지 알것 같으신가요? 루트 2의 근사값입니다. 기원전 1700년에 바벨로니아 사람들은 루트 2를 소수 6째 자리까지 정확하게 계산해 놓았습니다. 나머지 문자.. 2023. 1. 18.
루트2 원하는 만큼 구하는 법 $\sqrt{2}$는 1.414 라는 것은 다들 알고 계실 것입니다. 그런데 $\sqrt{2}$를 10째 자리까지 구하라고 하면 막상 구하는 것이 쉽지 않습니다. 오늘은 $\sqrt{2}$ 를 원하는 만큼 구하는 방법을 알아봅시다.  $\sqrt{2}$는 $x^2=2$의 한 근입니다.  $x^2=2$ 를 아래와 같이 변형하겠습니다.  $x^2-2=0$ 위 방정식의 근을 함수의 관점으로 생각해봅시다. 위 방정식의 근은 아래 두 함수의 교점이라고 생각할 수도 있습니다.  $y=x^2-2$ $y=0$ 그래프로 그리면 아래와 같습니다.  그래프 위의 한 점 (4,14)에서 접선을 한번 구해봅시다. $y=x^2-2$를 미분하면 $y'=2x$ 이므로 접선의 기울기는 8입니다. 따라서 접선의 방정식은 아래와 같습니다.. 2023. 1. 17.
루트 2는 무리수 증명 유리수는 두 정수의 비로 나타낼 수 있는 수 입니다. 무리수가 발견되지 전에는 만물의 근원이 정수라고 생각했습니다. 유리수의 구성요소도 정수였기 때문입니다. 그러다 유리수로 표현되지 않는 수가 발견됩니다. 한변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 유리수로 나타낼 수 없었습니다. 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 x라고 두고 x가 무리수인 것을 증명해보겠습니다. 먼저 피타고라스 정리에 의해 아래 등식이 성립합니다. $x^2=1+1$ 변형하면 아래와 같습니다. $x^2=2$ (1) 위 식을 1번식이라고 두겠습니다. x가 무리수라는 증명에는 '귀류법'이 사용됩니다. 귀류법의 귀는 따라갈 귀, 류는 잘못될 류 입니다. 잘못된 길을 따라가서 모순에 이르게 됨을 보여서 애초에 그 주장이 잘못됐다.. 2023. 1. 16.
[수학 1] (1-57) 지수함수의 최대와 최소 모듈식 수학 1 1.지수함수와 로그함수 (57) 지수함수의 최대와 최소 지수함수는 $a^x$는 a의 범위에 따라 그래프의 형태가 달라집니다. a가 0보다 큰 경우의 그래프는 아래와 같습니다. a가 01$인 지수함수는 증가함수입니다 .따라서 $x=m$ 에서 최솟값 $a^m$ 을 갖고, $x=n$ 에서 최댓값 $a^n$ 을 갖습니다. ② $0 2022. 12. 21.
[수학 1] (1-56) 지수함수를 이용한 수의 대소비교 모듈식 수학 1 1.지수함수와 로그함수 (56) 지수함수의 대칭이동 지수형태로 되어 있는 숫자의 크기를 비교할 때, 지수함수가 사용됩니다. 지수함수가 어떻게 사용되는지 알아보기 위해 간단한 숫자 비교부터 시작해봅시다. ① 밑 a가 $a>1$인 수의 크기비교 아래 두 숫자 중 어느 숫자가 클까요? $3^2, 3^3$ 9와 27이므로 $3^3$이 큽니다. 아래 두 숫자도 비교해봅시다. $3^{1.2}, 3^{1.7}$ 오른쪽 숫자가 더 크다는 것은 쉽게 알 수 있습니다. 하지만 왜냐고 물어보면 뭐라고 해야할까요? 지수함수를 이용하면 쉽게 대답할 수 있습니다. 지수함수 $3^x$ 는 증가함수입니다. 따라서 x가 클 수록 $3^x$가 큽니다. 일반화시키면 아래와 같습니다. $a>1$일 때, $x_{1} 2022. 12. 19.
[수학 1] (1-55) 지수함수의 대칭이동 모듈식 수학 1 1.지수함수와 로그함수 (55) 지수함수의 대칭이동 지수함수 $y=a^x$ 의 대칭이동을 공부해봅시다. 우리는 2차원인 좌표평면에서 지수함수를 다루고 있기 때문에 세가지 종류의 대칭이동이 가능합니다. x축 대칭이동, y축 대칭이동, 원점 대칭이동입니다. ① x축 대칭이동 지수함수 $y=a^x$를 $x$축에 대하여 대칭이동 해봅시다. $y$ 자리에 $-y$를 대입하면 됩니다. $-y=a^{x}$ $y=f(x)$형태로 바꾸면 아래와 같습니다. $y=-a^{x}$ ② y축 대칭이동 이번에는 $y=a^x$를 $y$축에 대하여 대칭이동 해봅시다. $x$ 자리에 $-x$를 대입하면 됩니다. $y=a^{-x}$ 지수의 성질을 이용하여 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $y=(\frac{1}{a})^{.. 2022. 12. 18.
[수학 1] (1-54) 지수함수의 평행이동 모듈식 수학 1 1.지수함수와 로그함수 (54) 지수함수의 평행이동 지수함수 $y=a^x$ 의 평행이동을 공부해봅시다. 우리는 2차원인 좌표평면에서 지수함수를 다루고 있기 때문에 두가지 종류의 평행이동이 가능합니다. x축 평행이동과 y축 평행이동입니다. 하나씩 배워봅시다. ① x축 평행이동 지수함수 $y=a^x$를 x축 방향으로 m 만큼 평행이동 해봅시다. $x$ 자리에 $x-m$ 을 대입하면 됩니다. $y=a^{x-m}$ ② y축 평행이동 이번에는 $y=a^x$를 y축 방향으로 n만큼 평행이동 해봅시다. $y$ 자리에 $y-n$을 대입하면 됩니다. $y-n=a^x$ $y=f(x)$ 형태로 나타내면 아래와 같습니다. $y=a^x+n$ ③ x축과 y축 평행이동 이번에는 $y=a^x$를 x축 방향으로 m만큼.. 2022. 12. 17.
0^0 을 정의할 수 없다는 잘못된 증명 3편 0^0 을 정의할 수 없다는 잘못된 증명 세번째 시간입니다. 아래 두 극한값을 봅시다. $\lim_{x\rightarrow +0}0^x$ $\lim_{x\rightarrow +0}x^0$ x가 0보다 클 때 $0^x$은 0이므로, 첫번째 극한값은 0입니다. x가 0보다 클 때 $x^0$은 1이므로 두번째 극한값은 1입니다. $\lim_{x\rightarrow +0}0^x=0$ $\lim_{x\rightarrow +0}x^0=1$ 두 극한값이 다르니 $0^0$이 정의될 수 없다는 증명입니다. 이는 잘못된 증명입니다. 극한값이 여러개인 것과 함수값이 정의되는지 여부는 무관합니다. 2022. 12. 13.
미분방정식에서 1계, 2계, 제차, 비제차, 선형 비선형이 뭔가요? 미분방정식은 계, 제차/비제차를 기준으로 나눌 수 있습니다. 1. 계란 무엇인가 미분방정식에 포함된 도함수에서 가장 많이 미분된 횟수를 계 또는 차수라고 부릅니다. 1계 미분방정식의 예시는 아래와 같습니다. $a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=h(x)$ 2계 미분방정식의 예시는 아래와 같습니다. $a_{2}(x)\frac{d^2 y}{dx^2}+a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=h(x)$ n계 미분방정식의 예시는 아래와 같습니다. $a_{n}(x)\frac{d^n y}{dx^n}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}}+\cdots+a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=h(x)$ 2. 제차/비제차란 무엇인가 제차는.. 2022. 12. 13.
0^0 을 정의할 수 없다는 잘못된 증명 2편 0^0 을 정의할 수 없다는 것을 증명하는 잘못된 방법이 참 많이 돌아다니고 있는 것 같습니다. 제가 찾은 것만 세가지가 됩니다. 오늘은 두번째 잘못된 증명입니다. 1편의 증명과 유사하지만 더 그럴듯해 보이는 증명입니다. a가 0 보다 큰 실수 일 때, 아래와 같은 지수법칙이 성립합니다. x와 y는 자연수라고 가정하겠습니다. $a^{x-y}=a^x \div a^y$ x와 y가 같다면 아래 지수법칙도 성립합니다. $a^{x-x}=a^x \div a^x$ 좌변을 계산하면 아래와 같습니다. $a^{0}=a^x \div a^x$ 이때 a가 0일 수 있느냐는 문제인데요. a에 0을 넣게되면 모순이 발생합니다. 따라서 a는 0이 될 수 없구요. $0^0$은 정의될 수 없다는 것이 이 증명의 내용입니다. 하지만 이 .. 2022. 12. 6.
0^0 을 정의할 수 없다는 잘못된 증명 1편 0^0 을 정의할 수 없다는 것을 증명하는 잘못된 방법이 참 많이 돌아다니고 있는 것 같습니다. 제가 찾은 것만 세가지가 됩니다. 오늘은 첫번째 잘못된 증명입니다. $0^0=0^{m-m}=0^m \div 0^m =\frac{0}{0}$ 0^0 을 변형하면 0/0 이 되고, 0/0을 정의 할 수 없으므로 0^0 도 정의할 수 없다는 논리입니다. 이런 증명을 다른 말로 하면 이렇게 됩니다. "어떤 수에 지수법칙을 적용하여 모순된 결과가 나오면 그 수는 정의할 수 없다." 라는 것인데요. 이와 같은 논리 대로라면 0도 정의할 수 없어야 합니다. 0은 아래와 같이 변형되기 때문입니다. $0=0^{3-2}=0^3 \div 0^2 =\frac{0}{0}$ 이 증명은 밑이 0일 때 위와 같은 지수법칙을 적용할 수 없.. 2022. 12. 6.
0/0=0 증명 (오류를 찾아보세요) $\frac{0}{0}$은 무수히 많은 값을 갖기 때문에 하나로 정의되지 않는다고 알려져 있습니다. 정말일까요? $\frac{0}{0}$ 을 어떤 수 k라고 놓겠습니다. $\frac{0}{0}$ 은 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $\frac{0}{0}=\frac{0+0}{0}=\frac{0}{0}+\frac{0}{0}$ 따라서 아래 등식이 유도됩니다. $k=2k$ 위 방정식을 풀면 k는 0입니다. 따라서 $\frac{0}{0}=0$ 입니다. 2022. 11. 27.
0/0 은 왜 정의할 수 없을까 우리가 사용하고 있는 사칙연산에서 곱셈과 나눗셈은 아래와 같은 관계가 있습니다. 이러한 관계에는 한가지 조건이 있습니다. a는 0이 아니어야 한다는 것입니다. 다시 말하면 0으로는 나눌 수 없는 것입니다. 왜 그럴까요? a에 0을 넣어봅시다. 0xb 는 0이므로, c는 0이어야만 합니다. 0이 아닌 수를 0으로 나누는 것은 정의될 수 없다는 것입니다. 그렇다면 0을 0으로 나누는 것은 괜찮은걸까요? c에 0을 넣어봅시다. 0xb=0 에서 b는 하나로 정의되지 않습니다. 무수히 많은 값을 가질 수 있습니다. 따라서 0/0 은 무수히 많은 값을 갖습니다. 2022. 11. 27.
x^x의 0에서의 우극한 아래 극한값을 구해봅시다. $\lim_{x\rightarrow +0}x^x$ $x^x$를 아래와 같이 변형합니다. $\lim_{x\rightarrow +0}x^x=\lim_{x\rightarrow +0}e^{\ln x^x}$ 아래와 같이 지수부분을 앞으로 내려줍니다. $\lim_{x\rightarrow +0}x^x=\lim_{x\rightarrow +0}e^{x\ln x}$ x를 $\frac{1}{t}$로 치환합니다. $\lim_{x\rightarrow +0}x^x=\lim_{x\rightarrow +0}e^{x\ln x}=\lim_{t\rightarrow \infty}e^{\frac{1}{t}\ln \frac{1}{t}}$ 로그의 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합니다. $\lim_{x\rightarr.. 2022. 11. 21.
y=x^x 를 미분해봅시다. 오늘은 $y=x^x$ 라는 함수를 x로 미분해봅시다. 먼저 양변에 자연로그를 취합니다. $\ln y=\ln x^x$ 로그의 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합니다. 이 식을 1번 식이라고 놓겠습니다. $\ln y=x\ln x$ (1) 양변을 x로 미분합시다. $\frac{d(\ln y)}{dx}=\ln x+1$ 체인룰을 사용하여 아래와 같이 변형합니다. $\frac{d(\ln y)}{dy}\frac{dy}{dx}=\ln x+1$ 좌변을 미분합니다. $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\ln x+1$ 아래와 같이 y를 우변으로 보냅니다. $\frac{dy}{dx}=y\left (\ln x+1 \right )$ $y=x^x$ 이므로 아래와 같이 대입합니다. $\frac{dy}{dx}=x^x\lef.. 2022. 11. 19.
e 의 수렴성 증명 (3편) 증명 우리는 자연상수 e의 수렴성을 증명하기 위한 재료 두가지를 배웠습니다. 첫번째 재료는 단조수렴정리입니다. 단조수렴정리 중 증가수열의 수렴조건을 이용할 겁니다. 어떤 수열이 증가수열 일 때, 절대 넘을 수 없는 값이 있다면 이 수열은 수렴합니다. 두번째 재료는 아래 부등식입니다. $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} 2022. 11. 15.
e 의 수렴성 증명 (2편) 1+1/2!+1/3!+... 의 수렴성 e의 수렴성을 증명하고 있습니다. 지난시간에는 e의 수렴성 증명에 사용되는 단조수렴정리가 무엇인지 설명했는데요. e의 수렴성을 증명하기 위해서는 한가지 재료가 더 필요합니다. 아래 급수의 수렴성입니다. $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots $ 이 급수의 수렴성은 아래 부등식을 이용하여 보일 수 있습니다. $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots 2022. 11. 11.
e 의 수렴성 증명 (1편) 단조 수렴 정리 자연상수 e는 아래와 같은 극한으로 표현되는 값입니다. $\lim_{n \rightarrow \infty}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n$ 우리는 이 극한이 어떤 무리수로 수렴하며, 그 무리수를 e 라고 부르기고 했다는 것을 알고 있습니다. 하지만 정말 위 극한이 수렴하는지 한번 쯤 확인해 볼 필요는 있습니다. 수렴성을 증명하기 전에, 수렴성 증명에 사용되는 재료 하나를 먼저 설명하겠습니다. 단조수렴정리 라는 것인데요. 단조수열이 수렴할 조건에 대한 정리입니다. 말이 어려운데요. 최대한 쉬운 말로 설명해보겠습니다. 단조수열은 두 가지가 있습니다. 단조증가수열과, 단조감소수열인데요. 단조증가수열은 $a_{n} \leq a_{n+1}$ 이구요. 이름 그대로 단조증가수열은 증가하는 .. 2022. 11. 7.
조화수열에는 왜 '조화'라는 이름이 붙었을까 역수를 취하면 등차수열이 되는 수열을 조화수열이라고 부릅니다. 예를들면 등차수열 2,5,8 의 역수를 취한 수열 $\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{1}{8}$ 이 조화수열입니다. 그런데 왜 이런 수열에 조화수열이라는 이름이 붙었을까요. 그 이유를 지금부터 알아봅시다. 그리스의 철학자 피타고라스는 음악에도 관심이 많았습니다. 피타고라스는 기타 줄과 같은 줄을 튕기며 소리를 내다가 이런 두가지 원리를 발견하게 됩니다. 1. 현의 길이를 반으로 줄이면 원래 나던 소리보다 음이 높고 비슷한 소리가 난다. 2. 현의 길이를 2/3 으로 줄여 튕기면 원래 나던 소리보다 음이 높고 잘 어울리는 소리가 난다. 첫번째 원리는 옥타브 입니다. 도를 예로들면 도와 한옥타브 높은 도는 비슷한 소리가 .. 2022. 11. 6.
[수학 퀴즈] 빈칸에 들어갈 숫자는? 안녕하세요. 수학의본질입니다. 오늘은 수학 퀴즈를 하나 가져왔습니다. 앞에 보이시는 그림의 빈칸에 알맞는 숫자를 맞추시면 됩니다. 정답을 바로 말씀드릴 것이라, 문제를 풀고싶은 분들은 잠깐 영상을 멈추고 풀어보시면 됩니다. 정답은 영상에 나옵니다. 2022. 11. 4.
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