[5분 고등수학] 부분집합의 개수 쉽게 구하는 법

 

 

어떤 집합 A가 있을 때, 집합 A의 부분집합의 개수를 구하는 방법을 알아봅시다. 간단한 예시에서 시작해봅시다. 아래와 같은 집합이 있다고 합시다. 

 

$A=\left \{ 1 \right \}$

 

부분집합의 개수가 몇개일까요. 1개라고 하신 분들도 있을텐데, 정답은 2개입니다. 공집합은 모든 집합의 부분집합이기 때문입니다. 따라서 집합 A의 부분집합은 아래와 같습니다. 

 

$\varnothing , \left \{ 2 \right \}$

 

이번엔 원소를 하나 늘려봅시다. 아래와 같은 집합이 있다고 합시다. 

 

$B=\left \{ 1,2 \right \}$

 

부분집합은 몇개일까요. 몇개 되지 않으니 쉽게 구할 수 있습니다. 

 

$\varnothing ,\left \{ 1 \right \},\left \{ 2 \right \},\left \{ 1,2 \right \}$

 

4개입니다. 원소를 하나만 더 늘려봅시다. 아래와 같은 집합이 있다고 합시다. 

 

$C=\left \{ 1,2,3 \right \}$

 

부분집합은 몇개일까요. 세는 것이 불가능한건 아니지만 살짝 귀찮아집니다. 머리를 써봅시다. 아래와 같은 표를 만들어봅시다. 

 

	1	2	3
포함 여부	O	O	O
	X	X	X

 

부분집합을 만든다고 할 때, 숫자 입장에서 생각해보면 각 숫자가 포함되거나 포함되지 않거나 두가지 경우가 있습니다. 만들 수 있는 부분집합의 수는 $2^{3}$입니다. 셋다 포함되지 않는 경우는 어쩌죠? 바로 '공집합'입니다. 

 

이 원리를 이용하면 집합의 크기가 아무리 커도 부분집합의 개수를 단번에 구할 수 있습니다. 원소의 개수가 n개인 집합이 있다고 합시다. 부분집합의 개수는 몇개일까요? 

 

$2^{n}$ 개 입니다.