[5분 고등수학] 이차방정식의 두 근이 모두 음수일 조건

 

 

이차방정식의 일반형은 아래와 같습니다.

 

$ax^{2}+bx+c=0$

위 이차방정식의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다.

 

이차방정식의 두 근이 모두 양수라면, 두근의 합과 곱이 둘 다 양수입니다. 따라서 아래 부등식이 성립합니다.

 

$\alpha + \beta <0$

 

$\alpha  \beta >0$

 

근과 계수와의 관계를 이용하면 위 부등식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다.

 

$-\frac{b}{a}<0$

 

$\frac{c}{a}>0$

 

이 두가지 조건으로 충분할까요? 아래 방정식을 봅시다.

 

$2x^{2}+2x+1=0$

 

두 근의 합과 곱은 모두 양수입니다. 따라서 위 두가지 조건을 만족합니다. 양수인 두 근을 갖는지 화인해봅시다. 

 

근의 공식을 이용하여 근을 구하면 아래와 같습니다. 

 

$x=\frac{-1\pm \sqrt{-1}}{2}$

 

루트 안이 음수이므로 실수가 아닙니다. 따라서 양수일 수 없습니다. 두근의 합과 곱이 모두 양수였지만, 두 근이 양수라는 조건이 성립하지 않습니다.

 

어떤 조건을 추가하면 될까요?

 

방정식이 두 실근을 갖는다는 조건을 추가해야합니다. 방정식이 두 실근을 가지려면 판별식이 0보다 커야합니다. 두 근이 '서로 다르다'는 말이 없으므로 두 근이 같아도 됩니다. 따라서 판별식이 0보다 같거나 크면 됩니다. 

 

$D\geq 0$

 

정리해봅시다.

 

이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$ 의 두 근이 모두 양수가 되려면 아래 세가지 조건을 만족해야 합니다. 

 

1) $-\frac{b}{a}<0$

2) $\frac{c}{a}>0$

3) $D\geq 0$