[5분 고등수학] 선분의 내분점

 

 

내분점은 '안에서 나누는 점'이라는 뜻입니다. 내분점은 두 점을 연결하여 만든 선분을 일정한 비율로 나누는 점입니다. 먼저 좌표평면 위에 점 두개를 찍어봅시다. 아래 그림과 같이 점 A와 점 B를 찍겠습니다. 

 

 

두 점 A와 B를 연결한 선분을 $m:n$ 으로 나누는 점을 아래와 같이 나타내겠습니다. 

 

 

이 점은 선분 $AB$를 $m:n$으로 내분하는 점입니다. $BA$를 $m:n$ 으로 내분했다면 위 그림의 m과 n을 바꿔주면 됩니다. 

 

각 점의 좌표를 x축과 y축에 나타내봅시다. 

 

 

아래와 같이 두개의 서로 닮은 삼각형을 그릴 수가 있습니다. 

 

 

삼각형의 닮음 조건을 이용하여 비례식을 세워봅시다. 

 

$(x'-x_{1}):(x_{2}-x')=m:n$

 

내항의 곱은 외항의 곱이므로 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$n(x'-x_{1})=m(x_{2}-x')$

괄호를 전개합시다. 

 

$nx'-nx_{1}=mx_{2}-mx'$

 

아래와 같이 이항합시다. 

 

$mx'+nx'=mx_{2}+nx_{1}$

아래와 같이 묶어줍시다. 

 

$(m+n)x'=mx_{2}+nx_{1}$

 

$x'$에 대해 정리합시다. 

 

$x'=\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}$

 

y에 대해서도 아래와 같은 비례식을 세울 수 있습니다. 

 

$(y'-y_{1}):(y_{2}-y')=m:n$

 

x와 동일한 방법을 적용하면 아래 등식이 유도됩니다. 

 

$y'=\frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n}$

 

정리해봅시다. 

 

점 $A(x_{1},y_{1})$와 점 $B(x_{2},y_{2})$를 연결한 선분 $AB$를 $m:n$으로 내분한 점의 좌표 $(x',y')는 아래와 같습니다. 

 

$(x',y')=\left( \frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n} , \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n} \right)$