[모듈식 수학 (하)] 3. 경우의 수 (5) 약수의 개수

[수학(하)]-[3.경우의 수]-[①경우의 수]-[(5) 약수의 개수]

약수의 개수

간단한 숫자를 통해 이해하고 일반화하겠습니다. 24의 양의 약수의 개수를 구해봅시다. 

 

1,2,3,4,6,8,12,24 

 

8개입니다. 1부터 키워가며 약수인지 아닌지 확인하면 어렵지 않게 구할 수 있습니다. 

 

이번에는 240의 약수의 개수를 구해봅시다. 위와 같은 방법으로 구하기에는 숫자가 너무 큽니다.

 

다시 24로 돌아가봅시다. 24의 약수들이 어떻게 구해지는지 알아봅시다. 24를 인수분해하면 아래와 같습니다. 

 

$24= 2^{3} \times 3$

 

24의 약수는 $2^{3}$ 의 약수와 $3$의 약수를 조합하여 만들수 있는 모든 수들입니다. 아래의 두 집합에서 각각 하나의 원소를 택하고 곱하여 만들 수 있는 모든 수를 말합니다. 

 

$\left \{ 1,2,2^{2},2^{3} \right \}$

$\left \{ 1,3 \right \}$

 

$4 \times 2$ 이므로 8개입니다. 여기서 4는 2의 지수인 3에 1을 더한 수입니다. 2는 3의 지수인 1에 1을 더한 수 입니다. 

 

$(3+1)(1+1)$인 것입니다. 

 

240의 약수를 구해봅시다. 240을 인수분해하면 아래와 같습빈다. 

 

$240=2^{4} \times 3 \times 5$ 

 

240의 약수는 아래 세 집합에서 각각 하나의 원소를 택하고 곱햐여 만들 수 있는 모든 수입니다. 

 

$\left \{ 1,2,2^{2},2^{3} \right \}$

$\left \{ 1,3 \right \}$

$\left \{ 1,5 \right \}$

 

$4 \times 2 \times 2$ 이므로 16개입니다. 여기서 4는 2의 지수인 3에 1을 더한 수입니다. 2는 3의 지수인 1에 1을 더한 수 입니다. 마지막에 곱해진 2는 5의 지수인 1에 1을 더한 수 입니다. 

 

$(3+1)(1+1)(1+1)$인 것입니다.

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일반화시켜봅시다. 

 

자연수 N이 아래와 같이 인수분해 된다고 합시다. 

 

$N=A^{p}B^{q}C^{r}$

 

이때 자연수 N의 약수의 개수는 아래와 같습니다. 

 

$(p+1)(q+1)(r+1)$