[5분 고등수학] 이차방정식의 두 근이 서로 다른 부호일 조건

 

 

이차방정식의 일반형은 아래와 같습니다.

 

$ax^{2}+bx+c=0$

위 이차방정식의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다.

 

두근의 부호가 다르다면 어떤 조건이 필요할까요? 두근의 합은 알 수 없습니다. 두근의 합은 양수일 수도 있고 음수일 수도 있기 때문입니다. 두근의 곱만 조건으로 사용할 수 있습니다. 두 근의 부호가 다를 경우 두 근의 곱은 음수입니다. 

 

$\alpha  \beta <0$

 

근과 계수와의 관계를 이용하면 위 부등식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다.

 

$\frac{c}{a}<0$

 

두 실근을 가져야하므로 판별식이 0보다 크다는 조건이 필요할 것 같지만 필요 없습니다. $\frac{c}{a}<0$ 이므로 $a$ 와 $c$의 부호가 다르고, $ac$ 의 부호는 음수입니다. 판별식을 봅시다.

 

$D=b^2-4ac$

 

$ac$의 부호가 음수이므로 판별식은 항상 양수입니다. 따라서 판별식이 양수라는 조건은 필요없습니다. $\frac{c}{a}<0$이면 자동으로 성립합니다. 

 

정리해봅시다. 

 

이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$ 의 두 근의 부호가 서로 다를 조건은 아래와 같습니다. 

 

$\frac{c}{a}<0$