[5분 고등수학] 이차방정식의 음근의 절댓값이 양근보다 클 조건

 

이차방정식의 일반형은 아래와 같습니다.

 

$ax^{2}+bx+c=0$

위 이차방정식의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다.

 

음근과 양근이 나온다는건 일단 두 근의 부호가 다르다는 말입니다. 따라서 두근의 곱은 음수입니다. 

 

$\alpha \beta < 0 $

 

또한 음근이 양근모다 크므로, 두 근의 합은 음수입니다. 

 

$\alpha + \beta < 0 $

 

근과 계수와의 관계를 이용하여 변형하면 아래와 같습니다.

 

$-\frac{b}{a} < 0$

 

$\frac{c}{a} < 0 $

 

두근의 부호가 다르므로 판별식 조건은 필요하지 않습니다. $\frac{c}{a}<0$ 이므로 $a$ 와 $c$의 부호가 다르고, $ac$ 의 부호는 음수입니다. 판별식을 봅시다.

 

$D=b^2-4ac$

 

$ac$의 부호가 음수이므로 판별식은 항상 양수입니다. 따라서 판별식이 양수라는 조건은 필요없습니다. $\frac{c}{a}<0$이면 자동으로 성립합니다. 

 

정리해봅시다.

 

이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$ 의 두 근의 절댓값이 같고 부호가 반대일 조건은 아래와 같습니다. 

 

$-\frac{b}{a} < 0$

 

$\frac{c}{a} < 0 $