[5분 고등수학] 이차부등식이 항상 성립할 조건

 

 

이차부등식은 아래와 같이 네 가지 종류가 있습니다. 

 

$ax^2+bx+c>0$

 

$ax^2+bx+c \geq 0$

 

$ax^2+bx+c < 0$

 

$ax^2+bx+c \leq 0$

 

a가 양수인 경우와 음수인 경우로 나뉩니다. 

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1. $a$가 양수인 경우

 

a가 양수인 경우, 부등식의 좌변을 함수로 해석하고 그래프를 그려보면 아래로 볼록인 그래프가 됩니다. 

 

아래로 볼록인 그래프는 아무리 아래로 내려도 양수인 영역이 항상 존재합니다. 따라서 0보다 항상 작은 조건은 존재하지 않습니다. 

 

$ax^2+bx+c>0$

 

$ax^2+bx+c \geq 0$

 

$ax^2+bx+c < 0$ (불가)

 

$ax^2+bx+c \leq 0$ (불가)

 

이차방정식이 항상 0보다 크게 만드는 것은 가능합니다. 아래와 같이 만들면 됩니다.

 

 

근이 없어야 하므로 판별식이 0보다 작으면 됩니다. 

 

$ax^2+bx+c>0$ (판별식 D<0)

 

$ax^2+bx+c \geq 0$

 

$ax^2+bx+c < 0$ (불가)

 

$ax^2+bx+c \leq 0$ (불가)

좌변이 0보다 같거나 큰 경우는 아래와 같이 그래프가 x축에 접하는 경우도 가능합니다. 

 

 

x축에 접하는 경우의 판별식은 0입니다. 따라서 판별식이 0보다 같거나 작으면 됩니다. 

 

$ax^2+bx+c>0$ (판별식 D<0)

 

$ax^2+bx+c \geq 0$ (판별식 D≤0) 

 

$ax^2+bx+c < 0$ (불가)

 

$ax^2+bx+c \leq 0$ (불가)

 

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2. $a$가 음수인 경우

 

a가 양수인 경우, 부등식의 좌변을 함수로 해석하고 그래프를 그려보면 위로 볼록인 그래프가 됩니다. 

 

 

위로 볼록인 그래프는 아무리 위로 올려도 음수인 영역이 항상 존재합니다. 따라서 0보다 항상 큰 조건은 존재하지 않습니다. 

 

$ax^2+bx+c>0$ (불가)

 

$ax^2+bx+c \geq 0$ (불가)

 

$ax^2+bx+c < 0$ 

 

$ax^2+bx+c \leq 0$ 

 

이차방정식이 항상 0보다 작게 만드는 것은 가능합니다. 아래와 같이 만들면 됩니다.

 

 

근이 없어야 하므로 판별식이 0보다 작으면 됩니다.

 

$ax^2+bx+c>0$ (불가)

 

$ax^2+bx+c \geq 0$ (불가)

 

$ax^2+bx+c < 0$ (D<0)

 

$ax^2+bx+c \leq 0$ 

 

좌변이 0보다 같거나 작은 경우는 아래와 같이 그래프가 x축에 접하는 경우도 가능합니다. 

 

x축에 접하는 경우의 판별식은 0입니다. 따라서 판별식이 0보다 같거나 작으면 됩니다.

 

$ax^2+bx+c>0$ (불가)

 

$ax^2+bx+c \geq 0$ (불가)

 

$ax^2+bx+c < 0$ (D<0)

 

$ax^2+bx+c \leq 0$ (D ≤ 0)