[5분 고등수학] 원의 접선의 방정식 (1) 기울기가 m인 경우

 

 

원의 접선의 방정식을 구하는 문제 유형에는 세가지가 있습니다. 

 

1) 기울기 m을 알려줄게 접선을 구해보세요

2) 원 위의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요

3) 원 밖의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요

 

첫번째 경우를 구해봅시다. 간단한 형태의 원에서 시작합시다. 중심이 원점인 원입니다. 중심이 원점으고 반지름이 r인 원의 방정식은 아래와 같습니다. 

 

 

기울기가 m인 접선은 두개가 있습니다. 아래 그림과 같습니다. 

 

 

기울기가 m인 직선의 방정식을 $y=mx+n$ 이라고 놓겠습니다. m은 우리가 알고 있는 값이고, n은 모르는 값입니다. n을 구해야합니다. 

 

n을 구하기 위해 원의 중심으로 부터 직선까지의 거리가 r이라는 조건을 사용할 수 있습니다. 아래와 같습니다. 

 

$\frac{\left | n \right |}{\sqrt{m^{2}+1}}=r$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$\left | n \right |=r\sqrt{m^{2}+1}$

 

절댓값 기호를 벗기면 아래와 같습니다. 

 

$n=\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

 

n을 구했습니다.  $y=mx+n$ 에 대입합시다. 

 

$y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

 

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식입니다. 

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$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ 에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식은 무엇일까요? 위에서 구한 접선의 방정식을 x축으로 a, y축으로 b만큼 평행이동하면 됩니다. 

 

$y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

 

이항하면 아래와 같습니다. 

 

$y=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}+b$