[5분 고등수학] 원순열 쉽게 이해하기 (관점1)

 

 

원순열을 이해하는 관점은 두가지가 있습니다. 

 

1) 순열을 구하고 중복을 제거

2) 회전하는 성질을 처음부터 고려하여 계산

 

오늘은 첫번째 관점으로 원순열을 계산해봅시다.

 

우리가 피젯스피너를 만드는 회사에 다니고 있다고 해봅시다. 아래 보이시는 그림은 피제스피너입니다. 

 

 

새로운 피젯스피너를 개발하는데, 빨강/초록/파랑 세가지 색을 이용하여 날개 부분을 칠하려고 합ㄴ다.

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색은 한번씩만 사용할 거구요. 몇가지 칠하는 방법이 있을지 계산해봅시다.

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먼저 빨/파/초 세가지 색을 일렬로 나열해봅시다.

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3x2x1 이므로, 6가지 경우가 있습니다.

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빨파초

빨초파

파빨초

파초빨

초빨파

초파빨

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이 중에서 빨파초, 파초빨, 초빨파로 피젯스피너를 만들어봅시다.

 

 

위 그림의 첫번째 피젯스피너를 시계방향으로 회전시켜봅시다. 

 

 

두번째 피젯스피너와 같아집니다. 세번째 피젯스피너를 시계 반대방향으로 회전시키면 두번째 피젯스피너와 같아집니다. 세개의 피젯스피너는 알고보니 같은 것이었습니다.

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일렬로 나열했을 때 경우의수인 6은, 실제 경우보다 3배 많이 세어진 수 입니다. 위와 같이, 하나의 경우를 세배로 늘려서 계산해주었기 때문입니다. 따라서 세가지 색으로 피젯스피너를 칠하는 경우의 수는 아래와 같이 계산됩니다.

 

$\frac{6}{3}=\frac{3!}{3}=2$

 

분자의 6은, 사용된 색들을 일렬로 나열하는 경우의 수입니다. 3은 회전했을 때 같아지는 경우의 수입니다. 3으로 나눠서 중복을 제거하는 것입니다. 

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이번에는 날개가 4개인 경우를 생각해봅시다. 빨강/파랑/초록/노랑 네가지 색으로 칠하려고 합니다. 색은 한번씩만 사용합니다.

 

먼저 네가지 색을 일렬로 나열해봅시다.

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4x3x2x1 = 24가지

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24라는 수는 실제 만들 수 있는 피젯스피너보다 몇배 많이 세어진 수 일까요? 날개가 4개인 피젯스피너는 회전을 시키게 되면, 4가지 경우가 같아지게 됩니다. 따라서 우리가 실제로 만들 수 있는 경우의 수는 24를 4로 나눠줘야 합니다.

 

$\frac{24}{4}=\frac{4!}{4}=3!=6$

 

이번에는 피젯스피너의 날개의 수를 n개로 늘려봅시다. 사용하는 색도 n가지로 늘어납니다. 먼저 n개의 색을 나열하겠죠? n! 입니다. 회전시키면 총 n개가 겹치니까, n으로 나눠주어야 합니다.

 

$\frac{n!}{n}=(n-1)!$

 

자 그런데, 한가지 문제가 있습니다. 피젯스피너는 회전을 할 수 있는 것 뿐만 아니라 뒤집는 것도 가능합니다. 날개가 3개인 예제로 다시 돌아가봅시다.

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아래와 같은 두가지 피젯스피너를 만들 수 있었습니다.

 

 

 

위 그림에서 왼쪽에 있는 피젯스피너를 뒤집어봅시다. 두번째 피젯스피너와 같아지게 됩니다.

 

 

 

 

결국, 세개의 색으로 만들 수 있는 피젯스피너는 '1개'였습니다.

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이 과정을 순차적으로 이해해봅시다.

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3개의 색으로 칠할 때, 3!을 계산해주었습니다. 그리고, 회전이 가능했으므로 3으로 나눴습니다.

 

$\frac{3!}{3}=2$

 

뒤집는 것이 가능하다면 다시 2로 나눠줘야합니다.

 

$\frac{3!}{3}\times \frac{1}{2}=1$

 

일반화시켜서 정리를 해봅시다. 

 

 

<회전만 가능한 크기가 n인 원순열의 경우의 수>

 

$\frac{n!}{n}=(n-1)!$

 

<회전과 뒤집기가 가능한 크기가 n인 원순열의 경우의 수>

 

$\frac{n!}{n}\times \frac{1}{2}=\frac{(n-1)!}{2}$