이항정리를 이용해서 아래 식을 전개해보겠습니다.
(1+x)n=nCnxn+nCn−1xn−1+...+nC2x2+nC1x+nC0(1+x)n=nCnxn+nCn−1xn−1+...+nC2x2+nC1x+nC0
1) x에 1을 넣어봅시다.
2n=nCn+nCn−1+...+nC2+nC1+nC02n=nCn+nCn−1+...+nC2+nC1+nC0
적용을 해봅시다. 아래 식을 계산한 값이 얼마일까요?
15C0+15C1+15C2+...+15C14+15C1515C0+15C1+15C2+...+15C14+15C15
손으로 계산하려면 엄두가 나지 않는데요. 위 식을 이용하면 쉽게 계산됩니다.
15C0+15C1+15C2+...+15C14+15C15=21515C0+15C1+15C2+...+15C14+15C15=215
2) x에 -1을 넣어봅시다.
0=nCn(−1)n+nCn−1(−1)n−1+...+nC2−nC1+nC00=nCn(−1)n+nCn−1(−1)n−1+...+nC2−nC1+nC0
예를 하나 들어봅시다. 조합기호 뒤가 홀수인 항은 - 가 붙습니다.
−5C5+5C4−5C3+5C2−5C1+5C0=0−5C5+5C4−5C3+5C2−5C1+5C0=0
3-1) 1번 식에서 2번 식을 빼봅시다.
2n=nCn+nCn−1+...+nC2+nC1+nC02n=nCn+nCn−1+...+nC2+nC1+nC0
0=nCn(−1)n+nCn−1(−1)n−1+...+nC2−nC1+nC00=nCn(−1)n+nCn−1(−1)n−1+...+nC2−nC1+nC0
n이 짝수일 때와 홀수일 때로 나뉩니다. 먼저 짝수인 경우입니다.
n이 짝수인 경우
2n=nCn+nCn−1+...+nC2+nC1+nC02n=nCn+nCn−1+...+nC2+nC1+nC0
0=nCn−nCn−1+...+nC2−nC1+nC00=nCn−nCn−1+...+nC2−nC1+nC0
위 두식을 빼면 짝수항들이 사라지고 홀수항들은 두번씩 더해집니다. n이 짝수이므로 소거되고, n-1부터 남겨집니다.
2n=2(nCn−1+nCn−3+...+nC3+nC1)2n=2(nCn−1+nCn−3+...+nC3+nC1)
양변에 2를 약분합니다.
2n−1=nCn−1+nCn−3+...+nC3+nC12n−1=nCn−1+nCn−3+...+nC3+nC1
n이 홀수인 경우
n이 홀수이므로 n-1 부터 2간격으로 소거됩니다.
2n−1=nCn+nCn−2+...+nC3+nC12n−1=nCn+nCn−2+...+nC3+nC1
3-2) 1번 식과 2번식을 더합시다.
2n=nCn+nCn−1+...+nC2+nC1+nC02n=nCn+nCn−1+...+nC2+nC1+nC0
0=nCn(−1)n+nCn−1(−1)n−1+...+nC2−nC1+nC00=nCn(−1)n+nCn−1(−1)n−1+...+nC2−nC1+nC0
n이 짝수일 때와 홀수일 때로 나뉩니다. 먼저 짝수인 경우입니다.
n이 짝수인 경우
2n=nCn+nCn−1+...+nC2+nC1+nC02n=nCn+nCn−1+...+nC2+nC1+nC0
0=nCn−nCn−1+...+nC2−nC1+nC00=nCn−nCn−1+...+nC2−nC1+nC0
위 두식을 더하면 홀수항들이 사라지고 짝수항들은 두번씩 더해집니다. n이 짝수이므로, 소거되므로 n-1부터 남겨집니다.
2n=2(nCn+nCn−2+...+nC2+nC0)2n=2(nCn+nCn−2+...+nC2+nC0)
양변에 2를 약분합니다.
2n−1=nCn+nCn−2+...+nC2+nC02n−1=nCn+nCn−2+...+nC2+nC0
n이 홀수인 경우
n이 홀수이므로 소거되고 n-1부터 남겨집니다.
2n−1=nCn−1+nCn−3+...+nC2+nC02n−1=nCn−1+nCn−3+...+nC2+nC0
4) 아래 식의 양변을 미분합시다.
(1+x)n=nCnxn+nCn−1xn−1+...+nC2x2+nC1x+nC0(1+x)n=nCnxn+nCn−1xn−1+...+nC2x2+nC1x+nC0
위 식의 양변을 x로 미분합시다.
n⋅(1+x)n−1=n⋅nCnxn−1+(n−1)⋅nCn−1xn−2+...+2⋅nC2x+nC1n⋅(1+x)n−1=n⋅nCnxn−1+(n−1)⋅nCn−1xn−2+...+2⋅nC2x+nC1
x에 1을 넣겠습니다.
n⋅2n−1=n⋅nCn+(n−1)⋅nCn−1+...+2⋅nC2+nC1n⋅2n−1=n⋅nCn+(n−1)⋅nCn−1+...+2⋅nC2+nC1
오른쪽에 있는 항을 시그마를 이용해서 표현하겠습니다.
n⋅2n−1=∑nk=1k⋅nCkn⋅2n−1=∑nk=1k⋅nCk
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