[5분 고등수학] 이항계수의 네가지 성질

 

 

이항정리를 이용해서 아래 식을 전개해보겠습니다.

 

${\left({1+x}\right)}^n=_n{C}_n{x}^n+_n{C}_{n-1}{x}^{n-1}+...+_n{C}_2{x}^2+_n{C}_1{x}+_n{C}_0$

 

1) x에 1을 넣어봅시다.

$2^n=_n{C}_n+_n{C}_{n-1}+...+_n{C}_2+_n{C}_1+_n{C}_0$

적용을 해봅시다. 아래 식을 계산한 값이 얼마일까요?

 

$_{15}{C}_0+_{15}{C}_1+_{15}{C}_2+...+_{15}{C}_{14}+_{15}{C}_{15}$

 

손으로 계산하려면 엄두가 나지 않는데요. 위 식을 이용하면 쉽게 계산됩니다.

 

$_{15}{C}_0+_{15}{C}_1+_{15}{C}_2+...+_{15}{C}_{14}+_{15}{C}_{15}={2}^{15}$

 

 

2) x에 -1을 넣어봅시다.

$0=_n{C}_n{\left({-1}\right)}^n+_n{C}_{n-1}{\left({-1}\right)}^{n-1}+...+_n{C}_2-_n{C}_1+_n{C}_0$

 

예를 하나 들어봅시다. 조합기호 뒤가 홀수인 항은 - 가 붙습니다.

 

$-_5{C}_5+_5{C}_4-_5{C}_3+_5{C}_2-_5{C}_1+_5{C}_0=0$

 

3-1) 1번 식에서 2번 식을 빼봅시다.

 

$2^n=_n{C}_n+_n{C}_{n-1}+...+_n{C}_2+_n{C}_1+_n{C}_0$

 

$0=_n{C}_n{\left({-1}\right)}^n+_n{C}_{n-1}{\left({-1}\right)}^{n-1}+...+_n{C}_2-_n{C}_1+_n{C}_0$

 

n이 짝수일 때와 홀수일 때로 나뉩니다. 먼저 짝수인 경우입니다.

 

 

n이 짝수인 경우

 

$2^n=_n{C}_n+_n{C}_{n-1}+...+_n{C}_2+_n{C}_1+_n{C}_0$

 

$0=_n{C}_n-_n{C}_{n-1}+...+_n{C}_2-_n{C}_1+_n{C}_0$

 

위 두식을 빼면 짝수항들이 사라지고 홀수항들은 두번씩 더해집니다. n이 짝수이므로 소거되고, n-1부터 남겨집니다.

 

$2^n=2\left({_n{C}_{n-1}+_n{C}_{n-3}+...+_n{C}_3+_n{C}_1}\right)$

 

양변에 2를 약분합니다.

 

$\textcolor{#ff0010}{2^{n-1}={_n{C}_{n-1}+_n{C}_{n-3}+...+_n{C}_3+_n{C}_1}}$

 

 

n이 홀수인 경우

 

n이 홀수이므로 n-1 부터 2간격으로 소거됩니다.

 

$\textcolor{#ff0010}{2^{n-1}={_n{C}_n+_n{C}_{n-2}+...+_n{C}_3+_n{C}_1}}$

 

 

3-2) 1번 식과 2번식을 더합시다.

$2^n=_n{C}_n+_n{C}_{n-1}+...+_n{C}_2+_n{C}_1+_n{C}_0$

 

$0=_n{C}_n{\left({-1}\right)}^n+_n{C}_{n-1}{\left({-1}\right)}^{n-1}+...+_n{C}_2-_n{C}_1+_n{C}_0$

 

n이 짝수일 때와 홀수일 때로 나뉩니다. 먼저 짝수인 경우입니다.

 

 

n이 짝수인 경우

 

$2^n=_n{C}_n+_n{C}_{n-1}+...+_n{C}_2+_n{C}_1+_n{C}_0$

 

$0=_n{C}_n-_n{C}_{n-1}+...+_n{C}_2-_n{C}_1+_n{C}_0$

 

위 두식을 더하면 홀수항들이 사라지고 짝수항들은 두번씩 더해집니다. n이 짝수이므로, 소거되므로 n-1부터 남겨집니다.

 

$2^n=2\left({_n{C}_n+_n{C}_{n-2}+...+_n{C}_2+_n{C}_0}\right)$

 

양변에 2를 약분합니다.

 

$\textcolor{#ff0010}{2^{n-1}={_n{C}_n+_n{C}_{n-2}+...+_n{C}_2+_n{C}_0}}$

 

n이 홀수인 경우

 

n이 홀수이므로 소거되고 n-1부터 남겨집니다.

 

$\textcolor{#ff0010}{2^{n-1}={_n{C}_{n-1}+_n{C}_{n-3}+...+_n{C}_2+_n{C}_0}}$

 

4) 아래 식의 양변을 미분합시다.

${\left({1+x}\right)}^n=_n{C}_n{x}^n+_n{C}_{n-1}{x}^{n-1}+...+_n{C}_2{x}^2+_n{C}_1{x}+_n{C}_0$

 

위 식의 양변을 x로 미분합시다.

 

$n\cdot {\left({1+x}\right)}^{n-1}=n\cdot _n{C}_n{x}^{n-1}+\left({n-1}\right)\cdot _n{C}_{n-1}{x}^{n-2}+...+2\cdot _n{C}_2{x}+_n{C}_1$

 

x에 1을 넣겠습니다.

 

$n\cdot {2}^{n-1}=n\cdot _n{C}_n+\left({n-1}\right)\cdot _n{C}_{n-1}+...+2\cdot _n{C}_2+_n{C}_1$

 

오른쪽에 있는 항을 시그마를 이용해서 표현하겠습니다.

 

$n\cdot {2}^{n-1}=\sum _{k=1}^nk\cdot _n{C}_k$