[5분 고등수학] 지수함수와 로그함수의 극한

 

지수함수와 로그함수의 극한을 공부해봅시다. 아래와 같은 네가지 종류의 극한값을 공부해볼 것입니다. 

(1) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{ln}(1+x)}{x}$

(2) $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}$

(3)  $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{log}^{}_{a}(1+x)}{x}$

(4) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}$

1번부터 극한값을 구해봅시다. 

 

(1) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{ln}(1+x)}{x}$

아래와 같이 식을 분리해서 써줍시다. 

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{ln}(1+x)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x}\text{ln}(1+x)$

$\frac{1}{x}$를 지수로 올려줍니다. 

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{ln}(1+x)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}\text{ln}(1+x)^{\frac{1}{x}}$

로그의 진수부분이 자연상수 e로 수렴합니다. 

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{ln}(1+x)}{x}=\text{ln}e $

우변은 1이므로 아래와 같이 극한값이 구해집니다. 

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{ln}(1+x)}{x}=1$

 

(2) $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}$

아래와 같이 t로 치환합시다. 

$e^{x}-1=t$

양변에 자연로그를 취합니다. 

$\text{ln}e^{x}=\text{ln}(t+1)$

좌변의 x를 앞으로 내려줍니다. 

$x\text{ln}e=\text{ln}(t+1)$

lne 는 1이므로 아래와 같이 계산됩니다. 

$x=\text{ln}(t+1)$

치환된 값을 원래의 식에 넣어줍니다. 

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{t}{\text{ln}(t+1)}$

우변은 (1)번 극한값의 역수입니다. 따라서 1로 수렴합니다. 

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1$

 

(3) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{log}^{}_{a}(1+x)}{x}$

아래와 같이 분리해서 써줍시다. 

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{log}^{}_{a}(1+x)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\text{log}^{}_{a}(1+x)$

$\frac{1}{x}$를 지수로 올려줍니다. 

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{log}^{}_{a}(1+x)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} \text{log}^{}_{a}(1+x)^{\frac{1}{x}}$

우변의 진수부분은 e로 수렴합니다. 

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{log}^{}_{a}(1+x)}{x}=\text{log}^{}_{a}e$

우변을 아래와 같이 변형합니다. 

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{log}^{}_{a}(1+x)}{x}=\frac{1}{\text{log}^{}_{e}a}$

밑이 e인 로그는 ln 입니다. 

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{log}^{}_{a}(1+x)}{x}= \frac{1}{\text{ln}a}$

 

 

(4) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}$

아래와 같이 치환해줍니다. 

$a^{x}-1=t$

1을 이항합니다

$a^{x}=t+2$

양변에 밑이 a인 로그를 취합니다. 

$x=\text{log}_{a}(t+1)$

치환한 값을 원래 수식의 넣어줍니다. 

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{t}{\text{log}_{a}(t+1)}
$

우변은 (3)번 극한값의 역수입니다. 따라서 아래와 같이 극한값이 구해집니다. 

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}=\text{ln}a$

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결과만 모아보면 아래와 같습니다. 

 

(1) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{ln}(1+x)}{x}=1$

(2) $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1$

(3)  $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{log}^{}_{a}(1+x)}{x}=\frac{1}{\text{ln}a}$

(4) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}=\text{ln}a$