[5분 고등수학] 정적분의 치환적분

 

 

정적분의 치환적분은 일반적인 방법으로 적분이 되지 않을 때, 치환을 이용하여 적분을 하는 테크닉입니다. 

일반화 된 공식만 보면 와닿지 않을 수 있어서, 예시를 통해 먼저 이해하고나서 일반화해보겠습니다. 

아래 문제를 풀어봅시다. 

$\int_{1}^{3}3x\sqrt{x^{2}-1}dx$

$x^{2}-1$을 t로 치환합시다. 

$x^{2}-1=t$

먼저 구간을 구합시다. x가 1~3로 변할 때, t는 0~8로 변합니다. 이제 양변을 미분합시다. 

$2xdx=dt$

원래 식에 치환한 식들을 대입합시다. 

$\int_{0}^{8}\frac{2}{3}\sqrt{t}dt$

적분합시다. 

$\frac{3}{2}\left[ \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \right]^{8}_{0}$

계산하면 아래와 같습니다. 

$8^{\frac{3}{2}}$

변형하면 아래와 같습니다. 

$2^{\frac{9}{2}}$

이 원리를 알면 치환적분을 할 수 있습니다. 굳이 공식으로 만들지 않아도 됩니다만, 그래도 만들어봅시다. 

아래 정적분에서 출발합시다. 

$\int_{a}^{b}f(x)dx$

위 식에서 x를 g(t)로 치환합시다. 

$x=g(t)$

구간을 구해줍시다. x가 a 일때, t가 $t_{1}$, x가 b일때, t가 $t_{2}$라고 놓겠습니다. 

양변을 미분합시다. 

$dx=g'(t)dt$

치환한 값들을 원래의 식에 대입합시다. 아래 공식이 유도되었습니다. 

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(g(t))g'(t)dt$