[5분 고등수학] 이산확률변수 vs 연속확률변수

 

 

확률변수는 이산확률변수와 연속확률변수로 나눠집니다. 이산확률변수와 연속확률변수를 비교하면서 공부해봅시다. 

이산확률변수의 이산의 뜻은 떠날 '이' 흩어질 '산'입니다. 떨어져서 흩어져 있는 확률변수라는 말입니다. 연속확률변수는 이산의 반대입니다. 끊어져 있지 않고, 연결되어 있는 확률변수입니다. 

간단한 예시를 통해서 이해해봅시다. 

이산확률변수의 대표적인 예시는 '동전던지기' 입니다. 동전을 한 번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 X라고 한다면 아래와 같은 표로 정리할 수 있습니다. 확률변수 X는 0과 1이라는 두개의 값을 갖습니다. 

 

X	0	1
P(X)	0.5	0.5

이산확률변수의 특징은 표로 나타낼 수 있다는 것이구요. 그래프로 그리면 아래와 같습니다. 

 

이 함수를 확률질량함수라고 부릅니다. 확률질량함수에서는 함수값이 곧 확률입니다. 반면에 연속확률변수는 확률밀도함수를 갖는데요. 질량과 밀도라는 이름에 숨겨진 의미는 이렇습니다. 

물리시간에 배운 내용을 떠올려보면, 질량은 밀도에 부피를 곱한 값입니다. 

<3차원>

질량 = 밀도 x 부피

2차원에서 생각해보면 부피 대신 넓이가 들어갑니다. 

 

<2차원>

질량 = 밀도 x 넓이

 

우리가 다루는 확률은 변수가 1개이므로 1차원입니다. 따라서 넓이가 길이가 됩니다. (영상에는 넓이라고 잘못 표현하였습니다.)

 

 

<1차원>

질량 = 밀도 x 길이

우리가 함수값을 확률로 갖는 함수를 확률 질량함수라고 했습니다. 확률을 질량에 빗대어 사용한 것입니다. 

확률 = 질량

그런데 확률밀도함수에서는 함수값이 밀도이기 떄문에 길이를 곱해주어야 확률이 구해집니다. 따라서 함수값 f(x)에 길이 dx를 곱해주고 적분한 값이 확률이 됩니다. 

'확률밀도함수'는 함수와 x축 사이가 만들어내는 넓이가 확률이 되는 함수입니다. 

이번에는 연속확률변수의 예시를 알아봅시다. 연속확률변수의 대표적인 예시는 '시계'입니다. 

 

시침만 있는 시계가 있다고 해봅시다. 손가락으로 시침을 튕기면 시침이 돌다가 멈출 것입니다. 이때, 시침이 12에 멈출 확률을 구해봅시다.

침이 멈출 수 있는 곳은 원 위의 점일텐데요. 원 위의 점의 수를 N이라고 한다면, 12시에 멈출 확률은 아래와 같습니다. 

$\frac{1}{N}$

그런데 원 위의 점이 몇개죠? 무한개입니다. 따라서 위 확률은 0에 가까워져갑니다. 확률 값을 정의할 수가 없다는 말입니다. 이런 경우에는 확률을 구간으로만 정의할 수 있습니다. 예를들면 12시에서 1시 사이에 시침이 멈출 확률은 정의할 수가 있습니다. 각도를 이용하면 됩니다.  전체가 360도이고, 12시~1시의 각도가 30도이기 떄문에 아래와 같이 구할 수 있습니다. 

$\frac{30}{360}=\frac{1}{12}$

그래프로 그리면 아래와 같습니다.