[5분 고등수학] 조합

 

 

농구동아리의 맴버를 뽑아야 하는 상황입니다. 8명을 뽑으려고 했는데, 50명이 지원을 한겁니다. 

 

이때 50명 중 8명을 뽑는 경우의 수가 몇가지 인지 계산해봅시다. 

 

우리는 순열을 이미 배운 상태입니다. 순열은 n개 중에서 r개를 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수이고, 아래와 같이 계산합니다.

 

$_n{P}_r=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$

먼저 순열을 이용하여 50명 중에서 8명을 뽑아서 일렬로 나열하는 경우의 수를 구해봅시다. 

$_{50}{P}_8=\frac{50!}{\left(50-8\right)!}=\frac{50!}{42!}$

순열은 50명 중에 8명을 뽑고, 일렬로 나열한 것입니다. 순열의 결과를 일렬로 나열한 경우의 수인 8!로 나눈다면, '50명 중에 8명을 뽑은' 경우의 수를 계산할 수 있습니다. 

 

일렬로 나열한 경우는 8!이므로, 나눠봅시다. 

$50명\ 중\ 8명을\ 뽑는\ 경우의\ 수=\frac{50!}{\left(50-8\right)!8!}=\frac{50!}{42!8!}$

이번에는 숫자를 바꿔봅시다. 50명 중에 3명을 뽑는 것입니다. 먼저 순열을 이용해서 50명 중에서 3명을 뽑아 일렬로 나열한 경우의 수는 아래와 같습니다. 

$_{50}{P}_3=\frac{50!}{\left(50-3\right)!}=\frac{50!}{47!}$

이제 일렬로 나열한 경우의 수인 3!로 나눠줍니다. 

50명 중 3명을 뽑는 경우의 수 = $\frac{50!}{\left(50-3\right)!3!}=\frac{50!}{47!3!}$

이제 일반화시켜봅시다. n명 중 r명을 뽑는 경우의 수는 아래와 같습니다. 

n명 중 r명을 뽑는 경우의 수 $=\frac{_n{P}_r}{r!}=\frac{n!}{\left(n-r\right)!r!}$

 

이 경우의  수를 조합이라고 합니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 

조합 = n명 중 r명을 뽑는 경우의 수 $=\ _n{C}_r=\frac{_n{P}_r}{r!}=\frac{n!}{\left(n-r\right)!r!}$

c는 combination 의 약자입니다.