[5분 고등수학] 함수의 몫의 미분법 유도

 

 

유리식 형태 함수의 미분결과는 아래와 같습니다. 

$y=\frac{f(x)}{g(x)}$

$y'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{ g(x) \right\}^{2}}$

유도해봅시다. 

도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. 

$y'=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}$

분자를 통분합시다. 

$y'=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{f(x+h)g(x)-g(x+h)f(x)}{g(x+h)g(x)}}{h}$

범분수를 계산해줍니다. 

$y'=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x)-g(x+h)f(x)}{h\cdot g(x+h)g(x)}$

분자에 g(x)f(x) 를 더하고 빼줍니다. 0을 더하는 것과 같아 등식에 영향을 주지 않습니다. 

$y'=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x)-g(x+h)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)}{h\cdot g(x+h)g(x)}$

우변 분자의 첫번째 항과 마지막 항을 g(x)로 묶어줍니다. 

$y'=\lim_{h \to 0}\frac{g(x)\left\{ f(x+h)-f(x) \right\}-g(x+h)f(x)+g(x)f(x)}{h\cdot g(x+h)g(x)}$

나머지 두 항을 f(x)로 묶어줍니다. 

$y'=\lim_{h \to 0}\frac{g(x)\left\{ f(x+h)-f(x) \right\}-f(x)\left\{ g(x+h)-g(x) \right\}}{h\cdot g(x+h)g(x)}$

아래와 같이 식을 둘로 분리줍니다. 

$y'=\lim_{h \to 0}\frac{g(x)\left\{ f(x+h) \right\}}{h\cdot g(x+h)g(x)}
-
\frac{f(x)\left\{ g(x+h)-g(x) \right\}}{h\cdot g(x+h)g(x)}$

우변의 각 항을 한번 더 분리합니다 .

$y'=\lim_{h \to 0}\frac{g(x)}{g(x+h)g(x)}\cdot
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
-
\frac{f(x)}{ g(x+h)g(x)} \cdot
\frac{g(x+h)-g(x) }{h}$

두변의 각 항의 두번째 식은 각각 f(x)와 g(x)의 도함수입니다. 따라서 극한값은 아래와 같습니다. 

$y'=\frac{g(x)}{g(x)g(x)}\cdot
f'(x)
-
\frac{f(x)}{ g(x)g(x)} \cdot
g'(x)$

정리하면 아래와 같습니다. 

$y'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{ g(x) \right\}^{2}}$