삼각함수 두개를 하나로 합치는 방법이 있습니다. 모든 경우에 다 되는 것은 아니고 각도가 같은 사인과 코사인값을 합치는 것이 가능합니다.
아래와 같이 두 가지 방법으로 합칠 수 있는데요. $\alpha$와 $\beta$의 의미는 뒤에서 설명하겠습니다.
$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\theta+\alpha)$
$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\theta-\beta)$
외워서 풀면 금방 잊습니다. 원리를 이해하고 원리로 푸는 것을 추천드립니다.
하나씩 유도해봅시다.
1) $a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\theta+\alpha)$
계수인 a와 b를 좌표평면에 표시해보겠습니다. a를 x값으로, b를 y값으로 놓겠습니다.
아래와 같이 직각삼각형을 그려봅시다. 원점에서 생기는 각을 $\alpha$라고 놓겠습니다.
이때 a와 b를 삼각함수로 나타내면 아래와 같습니다.
$a=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos\alpha$
$b=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\alpha$
우리가 유도하려던 식의 좌변은 아래와 같습니다.
$a\sin\theta+b\cos\theta$
위에서 구한 a,b를 대입해줍시다.
$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos\alpha\sin\theta+\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\alpha\cos\theta$
아래와 같이 묶어줍시다.
$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left( \cos\alpha\sin\theta+\sin\alpha\cos\theta \right)$
삼각함수의 사인 합공식을 적용합시다.
$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\theta+\alpha)$
2) $a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\theta-\beta)$
아래 그림과 같이 직각을 제외한 다른 각을 $\beta$로 놓겠습니다.
이때 a와 b를 삼각함수로 나타내면 아래와 같습니다.
$a=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\beta$
$b=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos\beta$
우리가 유도하려던 식의 좌변은 아래와 같습니다.
$a\sin\theta+b\cos\theta$
위에서 구한 a,b를 대입해줍시다.
$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\beta\sin\theta+\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos\beta\cos\theta$
아래와 같이 묶어줍시다.
$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left( \sin\beta\sin\theta+\cos\beta\cos\theta \right)$
삼각함수의 코사인 차공식을 적용합시다.
$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos(\theta-\beta)$
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