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고등수학 5분증명(2009개정)/미적분2

[5분 고등수학] 삼각함수의 합성

by bigpicture 2021. 12. 7.
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삼각함수 두개를 하나로 합치는 방법이 있습니다. 모든 경우에 다 되는 것은 아니고 각도가 같은 사인과 코사인값을 합치는 것이 가능합니다. 

아래와 같이 두 가지 방법으로 합칠 수 있는데요. $\alpha$와 $\beta$의 의미는 뒤에서 설명하겠습니다. 

$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\theta+\alpha)$

$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\theta-\beta)$

외워서 풀면 금방 잊습니다. 원리를 이해하고 원리로 푸는 것을 추천드립니다. 

하나씩 유도해봅시다. 

1) $a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\theta+\alpha)$

계수인 a와 b를 좌표평면에 표시해보겠습니다. a를 x값으로, b를 y값으로 놓겠습니다. 

 

아래와 같이 직각삼각형을 그려봅시다. 원점에서 생기는 각을 $\alpha$라고 놓겠습니다. 

 

 

이때 a와 b를 삼각함수로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$a=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos\alpha$

 

$b=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\alpha$

 

우리가 유도하려던 식의 좌변은 아래와 같습니다. 

 

$a\sin\theta+b\cos\theta$

 

위에서 구한 a,b를 대입해줍시다. 

 

$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos\alpha\sin\theta+\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\alpha\cos\theta$

 

아래와 같이 묶어줍시다. 

 

$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left( \cos\alpha\sin\theta+\sin\alpha\cos\theta \right)$

 

삼각함수의 사인 합공식을 적용합시다. 

 

$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\theta+\alpha)$

 

 

2) $a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\theta-\beta)$

 

아래 그림과 같이 직각을 제외한 다른 각을 $\beta$로 놓겠습니다. 

 

이때 a와 b를 삼각함수로 나타내면 아래와 같습니다.

 

$a=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\beta$

 

$b=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos\beta$

 

우리가 유도하려던 식의 좌변은 아래와 같습니다.

 

$a\sin\theta+b\cos\theta$

 

위에서 구한 a,b를 대입해줍시다.

 

$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\beta\sin\theta+\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos\beta\cos\theta$

 

아래와 같이 묶어줍시다. 

 

$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left( \sin\beta\sin\theta+\cos\beta\cos\theta \right)$

 

삼각함수의 코사인 차공식을 적용합시다. 

 

$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos(\theta-\beta)$

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