[5분 고등수학] 정적분의 부분적분법

 

 

부분적분법은 기본적인 적분방법으로 적분이 안될때 사용하는 하나의 텍크닉입니다. 다양한 분야에서 자주 사용하는 테크닉이라 매우 중요합니다. 부분적분법은 아래와 같습니다. 

$\int_{a}^{b}f(x)g'(x)dx=\left[ f(x)g(x) \right]^{b}_{a}-\int_{a}^{b}f'(x)g(x)dx$

유도해봅시다. f(x)와 g(x)의 곱의 미분은 아래와 같습니다. 

$\left\{ f(x)g(x) \right\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

양변에 구간 a~b 까지의 적분을 취해봅시다. 

$\int_{a}^{b}\left\{ f(x)g(x) \right\}'dx=\int_{a}^{b}\left\{ f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \right\}dx$

좌변을 적분하면 아래와 같습니다. 

$\left[ f(x)g(x) \right]^{b}_{a}=\int_{a}^{b}\left\{ f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \right\}dx$

아래와 같이 우변을 두개의 식으로 분리해줍니다. 

$\left[ f(x)g(x) \right]^{b}_{a}=\int_{a}^{b}f'(x)g(x)dx+\int_{a}^{b}f(x)g'(x)dx$

우변의 첫항을 좌변으로 이동합니다. 

$\left[ f(x)g(x) \right]^{b}_{a}-\int_{a}^{b}f'(x)g(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)g'(x)dx$

좌우 변을 바꿔주면 유도가 완료됩니다. 

$\int_{a}^{b}f(x)g'(x)dx=\left[ f(x)g(x) \right]^{b}_{a}-\int_{a}^{b}f'(x)g(x)dx$