[5분 고등수학] 호도법은 무엇이며 왜 필요한가 (라디안)

 

각도는 크게 두가지가 있습니다. 우리에게 익숙한 도(º)를 사용하는 60분법과, 라디안(radian)을 사용하는 호도법이 있습니다. 

- 60분법 (º)
- 호도법 (rad)

60분법은 1회전 360으로 놓은 것입니다. 원의 중심각이 360개로 나눠지고 그중 하나가 1도가 됩니다. 60분법은 일상에서 자주 사용하기 때문에 우리에게 익숙합니다. 반면 호도법은 일상에서 자주 쓰이지는 않습니다. 하지만 호도법은 수학과 공학 분야에서 아주 유용하게 사용되는 표기법입니다. 오늘은 호도법이 무엇인지 배워봅시다. 

 

1) 1 라디안은 어떻게 정의되는가

호도법은 라디안을 각도의 단위로 합니다. 1라디안은 아래와 같이 정의됩니다. 

1라디안은 반지름의 길이와 호의 길이가 같은 부채꼴의 중심각입니다. 

 

 

2) 1라디안은 몇도일까? (호도법과 60분법의 관계)

반지름이 r이고 부채꼴의 길이가 r인 부채꼴이 있다고 합시다. 반지름이 r인 원의 한 조각일 것입니다. 

 

이 원의 둘레 길이는 $2\pi r $ 입니다. 중심각은 360도입니다. 따라서 아래와 같은 비례식을 세울 수 있습니다. 

 

$1 \text{rad}:360^{\circ} =r:2\pi r$

 

외항의 곱은 내항의 곱이므로 아래와 같이 계산됩니다. 

 

$360^{\circ}\times r =2\pi \times 1\text{rad}$

 

아래와 같이 정리해줍니다. 

 

$1\text{rad}=\frac{180^{\circ}}{\pi}$

 

따라서 1rad의 크기는 약 57.29577951308232 입니다. 

 

 

3) 호도법은 왜 필요한가? 

아무 이유없이 호도법을 만든 것은 아닙니다. 호도법은 수학 계산을 엄청나게 편리하게 만들어줍니다. 삼각함수를 다룰 때 라디안을 주로 이용하는 이유입니다. 무엇이 편한지 궁금하실텐데 가장 대표적인 예시는 아래와 같습니다. 

 

<호도법인 경우 미분>

\frac{d( \sin x)}{dx}=\cos x

 

<60분법인 경우 미분>

frac{d( \sin x)}{dx}=\cos x \times \frac{\pi}{180^{\circ}}

 

삼각함수의 미분이 훨씬 편해집니다.