[5분 고등수학] 확률의 덧셈정리

 

 

S라는 표본공간 안에 A라는 사건과 B라는 사건이 있습니다. 

 

이때, A 또는 B가 발생할 확률을 아래와 같이 나타냅니다. 

$P\left(A\cup B\right)$

주사위를 예로 든다면, 홀수의 눈 또는 2의 배수가 발생할 확률 등이 있습니다. 

A와 B의 합집합의 확률이 아래와 같이 계산된다는 등식이 '확률의 덧셈정리'입니다. 

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

A와 B의 교집합의 확률은 'A 그리고 B'의 확률입니다. 

확률의 덧셈정리를 유도해봅시다.

위 벤다이어그램에서 집합의 원소의 개수들 사이에는 아래 등식이 성립합니다. 

$n\left(A\cup B\right)=n\left(A\right)+n\left(B\right)-n\left(A\cap B\right)$

위 식의 모든 항을 n(s)로 나눕시다. 

$\frac{n\left(A\cup B\right)}{n\left(S\right)}=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}+\frac{n\left(B\right)}{n\left(S\right)}-\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(S\right)}$

각 항은 사건의 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 것이므로, 각 사건이 발생할 확률이 됩니다. 

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$