[5분 고등수학] 삼각함수의 미분법 (tanx, cotx, secx, cscx)

 

우리는 지난 강의에서 $\sin x$와 $\cos x$의 미분을 유도한 상태입니다. 몫의 미분법도 유도했습니다. 오늘은 아래 네 삼각함수의 미분을 유도해봅시다. 앞에서 배운 미분법이 사용됩니다. 

$(\tan x)'=\sec^{2}x$

$(\cot x)'=-\csc^{2}x$

$(\sec x)'=\sec x \tan x$

$(\csc x)'=-\csc x \cot x$

하나씩 유도해봅시다. 

 

1. $(\tan x)'$

아래 성질에서 출발합시다. 

$\tan x =\frac{\sin x }{\cos x}$

양변을 x로 미분합시다. 우변은 몫의 미분법을 이용하여 미분하면 됩니다. 

$(\tan x)'=\frac{(\sin x)'\cos x-(\cos x)'\sin x}{\cos^{2}x}$

사인과 코사인의 미분을 계산합니다. 

$(\tan x)'=\frac{\cos^{2} x+\sin^{2} x}{\cos^{2}x}$

분자는 1입니다. 

$(\tan x)'=\frac{1}{\cos^{2}x}$

아래와 같이 변형합시다. 

$(\tan x)'=\sec^{2}x$

 

2. $(\cot x)'$

아래 등식에서 출발합시다. 

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$

양변을 x로 미분합시다. 우변은 몫의 미분법을 이용하여 미분하면 됩니다. 

$(\cot x)'=\frac{(\cos x)'\sin x-(\sin x)'\cos x}{\sin^{2}x}$

사인과 코사인의 미분을 계산합니다. 

$(\cot x)'=\frac{-\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\sin^{2}x}$

분자는 -1입니다. 

$(\cot x)'=\frac{-1}{\sin^{2}x}$

아래와 같이 변형합시다. 

$(\cot x)'=-\csc^{2}x$

 

3. $(\sec x)'$

아래 등식에서 출발합시다. 

$\sec x =\frac{1}{\cos x}$

양변을 x로 미분합시다. 우변은 몫의 미분법을 이용하여 미분하면 됩니다. 

$(\sec x)'=\frac{0 \cdot \cos x-(\cos x)'\cdot 1}{\cos^{2}x}$

코사인의 미분을 계산합니다. 

$(\sec x)'=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}$

아래와 같이 분리해서 써줍시다. 

$(\sec x)'=\frac{1}{\cos x}\cdot \frac{\sin x}{\cos x}$

아래와 같이 변형합시다. 

$(\sec x)'=\sec x \cdot \tan x$

 

4. $(\csc x)'$

아래 등식에서 출발합시다. 

$\csc x =\frac{1}{\sin x}$

양변을 x로 미분합시다. 우변은 몫의 미분법을 이용하여 미분하면 됩니다. 

$(\csc x)'=\frac{0 \cdot \sin x-(\sin x)'\cdot 1}{\sin^{2}x}$

코사인의 미분을 계산합니다. 

$(\csc x)'=\frac{-\cos x}{\sin^{2}x}$

아래와 같이 분리해서 써줍시다. 

$(\csc x)'=-\frac{1}{\sin x}\cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

아래와 같이 변형합시다. 

$(\sec x)'=-\csc x \cdot \cot x$