[5분 고등수학] 원순열 쉽게 이해하기 (관점2)

 

 

원순열을 이해하는 관점은 두가지가 있습니다. 

1) 순열을 구하고 중복을 제거
2) 회전하는 성질을 처음부터 고려하여 계산

지난 시간에 피젯 스피너 예제를 통해서, 첫번째 관점을 배웠습니다. 우리가 찾아낸 원순열을 계산하는 방법은 아래와 같습니다. 

크기가 n인 원순열에서 회전만 가능 : $\frac{n!}{n}$

크키가 n인 원순열에서 회전과 뒤집기가 가능 $\frac{1}{2}\times \frac{n!}{n}$

오늘은 테이블 예제를 통해 원순열을 이해하는 두번째 관점을 배워봅시다.  

 

위와 같이 테이블과 의자 두개가 놓여있습니다. A라는 사람과 B라는 사람 두 사람을 의자에 앉혀봅시시다. 몇가지 경우가 있나요? 2가지입니다. 

그런데 우리가 고등학교 과정에서 배우는 예제들은 한가지 가정을 하고 있습니다. 테이블이 회전하는 판 위에 올려져 있다는 가정입니다. 이때는 위 두 자리가 같은자리가 됩니다. 두 사람이 앉는 방법의 수는 한가지로 줄어듭니다. 

 

$\frac{2}{2!}$

 

 위와 같이 푸는 방법이 지난시간에 배운 관점입니다. 전체 수를 먼저 계산하고, 겹치는 만큼 나눠주는 것입니다. 

이번에는 새로운 관점으로 이 문제를 풀어보겠습니다. 이 관점은 나중에 다각형순열을 풀 때도 사용됩니다. 먼저 한 사람을 의자에 앉히는 것입니다. 위 두 자리가, 같은 자리이기 때문에 어디에 앉혀도 상관이 없습니다. 한 사람이 의자에 앉아 있다면, 다른 한 사람이 앉을 수 있는 방법은 1가지 뿐입니다. 

이 방법을 아래와 같이 테이블이 4개인 예제에 적용합니다. 테이블은 여전이 원판 위에서 돌고 있는 상황입니다. 

 

 

위 테이블에 A,B,C,D라는 네 사람을 앉히는 방법의 수를 구해봅시다. 피젯스피너 예제에서 사용한 방법으로 푼다면, 4! 을 회전하면서 겹치는 수인 4로 나눠주면 됩니다. 3! 즉 6가지입니다. 

이번에는 새로운 관점으로 풀어봅시다. 먼저 A라는 사람을 하나의 자리에 앉혀버립니다. 그렇다면 세 자리가 남게 되는데, 이 세 자리는 서로 다른 자리가 됩니다. A의 맞은편, 왼쪽, 오른쪽 자리가 되는 것이죠. 이제 서로 다른 세 자리에 세 사람을 앉히는 방법 수를 구하면 됩니다. 3!입니다. 위와 동일한 결과가 나옵니다.