[5분 고등수학] 로그함수의 미분법 (도함수)

 

 

로그함수는 아래와 같이 두 종류가 있습니다. 밑이 실수 a인 경우와 밑이 e인 경우입니다. e도 실수에 포함되지만 특별한 성질이 있어서 따로 분류하였습니다.  밑이 e인 경우의 로그를 자연로그라고 하고 기호로는 $\ln x$로 나타냅니다. 

$y=\text{log}_{a}x$

$y=\ln x$

각각의 미분방법을 알아봅시다.

 

1) $y=\text{log}_{a}x$ 의 미분

도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. 

$y'=\frac{dy}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}x}{h} $

분자를 계산해줍니다. 

$y'=\frac{dy}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\log_{a}\frac{x+h}{x}}{h} $

아래와 같이 변형합시다. 

$y'=\frac{dy}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\log_{a}\left( 1+\frac{h}{x} \right)}{h} $

한가지 수학적인 처리를 해주겠습니다. x를 곱하고 나눠줍시다. 1을 곱한 것이므로 등식에 영향을 주지 않습니다. 

$y'=\frac{dy}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{x} \frac{x}{h} \log_{a}\left( 1+\frac{h}{x} \right)$

아래와 같이 $\frac{x}{h}$를 로그 안으로 넣어줍니다. 

$y'=\frac{dy}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{x}  \log_{a}\left( 1+\frac{h}{x} \right)^{\frac{x}{h}}$

h가 무한대로 갈 때, 위 식의 로그항의 진수 부분은 e로 수럼합니다. 

$y'=\frac{dy}{dx}=  \frac{1}{x}  \log_{a}e$

아래와 같이 변형합니다. 

$y'=\frac{dy}{dx}=  \frac{1}{x}  \frac{1}{\log_{e}a}$

우변의 두번째 항의 분모는 자연로그입니다. 미분이 완료되었습니다. 

$y'=\frac{dy}{dx}=  \frac{1}{x}  \frac{1}{\ln a}$

 

2) $y=\ln x$

1번에서 a자리에 e를 넣어주면 됩니다. 아래와 같습니다. 

$y'=\frac{dy}{dx}=  \frac{1}{x} $

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아래는 오늘 내용의 요약입니다. 

 

$y=\text{log}_{a}x$ 의 도함수는 $y'=\frac{dy}{dx}=  \frac{1}{x}  \frac{1}{\ln a}$ 이다. 

 

$y=\ln x$ 의 도함수는 $y'=\frac{dy}{dx}=  \frac{1}{x} $ 이다.