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[5분 고등수학] 자연수의 거듭제곱의 합 (1제곱) 자연수 거듭제곱의 합공식을 유도해봅시다. 고등학교에서 배우는 합공식은 세가지입니다. 1제곱의합, 2제곱의합,3제곱의합. 이번 글에서는 1제곱의 합 공식을 유도해보겠습니다. 1제곱의 합공식 1부터 n까지의 합입니다. 시그마 기호를 이용한 식으로 나타내면 아래와 같습니다. $\sum_{k=1}^{n}k=1+2+ \cdots + n$ 등차수열의 합입니다. 첫항이 1, 공차도 1입니다. $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ 2021. 9. 25.

[5분 고등수학] 단리법, 복리법 은행에 예금을 하면 이자가 붙습니다. 이자를 붙이는 방법은 크게 둘로 나뉩니다. 단리법과 복리법입니다. 하나씩 배워봅시다. 1. 단리법 은행에 a원을 저금했습니다. a를 원금이라고 합니다. 연 이자율은 r% 였습니다. 이자가 단리로 붙는다는 것은 원금에만 이자가 붙는다는 것을 의미합니다. 1년 후 원금과 이자는 아래와 같습니다. 원금과 이자의 합계를 '원리합계'라고 합니다. 1년 후 원리합계는 아래와 같습니다. 1년 후 원리합계 = $a+a\times \frac{r}{100}=a\left ( 1+\frac{r}{100} \right )$ 2년 후 원금과 이자는 아래와 같습니다. 2년 후 원리합계는 아래와 같습니다. 2년 후 원리합계 = $a+a\times \frac{r}{100}+a\times \frac.. 2021. 9. 25.

[5분 고등수학] 등비수열의 합 등비수열은 '비(ratio)'가 일정한 수열입니다. 일정한 비를 공비라고 부릅니다. 첫째항을 a, 공비를 r이라고 놓았을 때 수열은 아래와 같습니다. $a_{1}=a$ $a_{2}=ar$ $a_{3}=ar^{2}$ $a_{4}=ar^{3}$ ... $a_{n}=ar^{n-1}$ 이때 $a_{n}$을 일반항이라고 부릅니다. 등비수열의 합을 구해봅시다. 등비수열의 합은 $S_{n}$ 이라고 나타냅니다. 수열의 첫째항 부터 n번째 항까지의 합을 의미합니다. $S_{n}=a_{1}+a_{2}+ \cdots +a_{n}$ 첫항이 a이고 공비가 r인 등차수열의 합은 아래와 같습니다. $S_{n}=\frac{a\left ( 1-r \right )^{n}}{1-r}$ 이 공식을 유도해봅시다. 첫항부터 n번째 항까지의 .. 2021. 9. 24.

[5분 고등수학] 등차수열의 합 등차수열은 차이가 일정한 수열입니다. 일정한 차이를 공차라고 부릅니다. 첫째항을 a, 공차를 d라고 놓았을 때 수열은 아래와 같습니다. $a_{1}=a$ $a_{2}=a+d$ $a_{3}=a+2d$ $a_{4}=a+3d$ ... $a_{n}=a+(n-1)d$ 이때 $a_{n}$을 일반항이라고 부릅니다. 등차수열의 합을 구해봅시다. 등차수열의 합은 $S_{n}$ 이라고 나타냅니다. 수열의 첫째항 부터 n번째 항까지의 합을 의미합니다. $S_{n}=a_{1}+a_{2}+ \cdots +a_{n}$ 첫항이 a이고 공차가 d인 등차수열의 합은 아래와 같습니다. $S_{n}=\frac{n\left \{ 2a+d(n-1) \right \}}{2}$ 이 공식을 유도해봅시다. 첫항부터 n번째 항까지의 합을 오름차순으로.. 2021. 9. 24.

[5분 고등수학] 역함수의 성질 역함수의 대표적인 성질은 다섯가지가 있습니다. 1) 어떤 함수의 역함수의 역함수는 자기 자신이다. $\left ( f^{-1} \right )^{-1}=f$ 증명해봅시다. $y=f(x)$가 있다고 합시다. $y=f(x)$의 역함수는 아래와 같습니다. $f^{-1}(y)=x$ 역함수를 한번더 취합시다. $\left ( f^{-1} \right )^{-1}(x)=y$ y는 f(x) 이므로 아래 등식이 성립합니다. $\left ( f^{-1} \right )^{-1}(x)=f(x)$ 일반화시키면 아래와 같습니다. $\left ( f^{-1} \right )^{-1}=f$ 2) 어떤 함수의 역함수와 그 함수를 합성하면 항등함수이다. $f(x)$와 그 역함수를 합성해봅시다. $\left ( f^{-1}\circ .. 2021. 9. 23.

[5분 고등수학] 산술,기하,조화평균 대소비교 증명 산술, 기하, 조화평균의 대소관계는 아래와 같습니다. $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$ 대소비교가 성립하는 조건은 a,b 가 양수라는 것입니다. 이유는 증명과정에서 나옵니다. 산술평균과 기하평균의 대소관계 먼저 산술평균과 기하평균의 대소관계를 증명해봅시다. $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ 양변에 2를 곱합시다. $a+b \geq 2\sqrt{ab}$ 양변을 제곱합시다. 제곱 후에도 부등호가 유지되려면 양변이 양수라는 조건이 필요합니다. 양변이 양수려면 a,b가 양수여야 합니다. a 또는 b가 0일 때도 성립을 하므로, 0보다 같거나 크면 됩니다. $(a+b)^{2} \geq 4ab$ 전개합시다. $a^{2}+2ab+b^{2.. 2021. 9. 23.

[5분 고등수학] 산술,기하,조화평균은 어디에 쓸까? 평균에는 세가지 종류가 있습니다. 산술, 기하, 조화평균입니다. 각 평균의 정의는 아래와 같습니다. 두 수 a와 b의 평균입니다. 산술평균 : $\frac{a+b}{2}$ 기하평균 : $\sqrt{ab}$ 조화평균 : $\frac{2ab}{a+b}$ 세 평균의 대소관계는 아래와 같습니다. $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$ 대소관계 증명은 다음 글에서 하겠습니다. 이번 글에서는 각 평균이 어디에 사용되는지 알아봅시다. 산술평균 우리가 흔히 '평균'이라고 부르는 평균이 산술평균입니다. 대표적으로는 시험점수를 구할 때 사용합니다. 수학시험점수가 90점이고, 영어시험점수가 100점이면 두 과목의 산술평균은 아래와 같이 계산합니다. $\frac{90+10.. 2021. 9. 22.

[5분 고등수학] 배수집합의 교집합과 합집합 배수집합은 어떤 자연수의 배수로 만든 집합입니다. 어떤 자연수를 k라고 했을 때, 이 자연수의 배수집합은 기호로 아래와 같이 나타냅니다. $A_{k}$ 예를 들어 2의 배수의 집합은 아래와 같습니다. $A_{2}=\left \{ 2,4,6,8,... \right \}$ 교집합 배수집합의 교집합에 대해 알아봅시다. 두 자연수 m과 n의 배수집합은 아래와 같습니다. $A_{m}=\left \{ m,2m,3m,4m,... \right \}$ $A_{n}=\left \{ n,2n,3n,4n,... \right \}$ 두 수의 최소공배수를 $r$ 이라고 한다면, 두 집합의 교집합은 아래와 같습니다. $A_{m}\cap A_{n}=A_{r}$ 두 수의 공배수의 집합은 두 수의 최소공배수의 배수의 집합과 같기 때문입.. 2021. 9. 22.

[5분 고등수학] 합집합의 원소의 개수 집합 $A$의 원소의 개수가 $m$개, 집합 $B$의 원소의 개수가 $n$개라고 합시다. $A$와 $B$의 합집합의 원소의 개수는 몇개일까요? $m+n$ 개일까요? 그럴 수도 있고 아닐 수도 있습니다. $A$와 $B$의 교집합이 없다면 $m+n$개이고, 교집합이 있다면 $m+n$개가 아닙니다. 아래 그림을 봅시다. B와 겹치지 않는 $A$의 원소의 개수를 $a$개, $A$와 겹치지 않는 $B$의 원소의 개수를 $b$, $A$와 $B$가 겹치는 부분의 원소의 개수를 $c$개라고 놓겠습니다. $A$의 원소의 개수는 $a+c$개이고, $B$의 원소의 개수는 $b+c$개입니다. A와 B의 합집합의 원소의 개수는 $a+b+c$ 개입니다. A의 원소의 개수와 B의 원소의 개수를 더하면 교집합의 원소의 개수가 중복해.. 2021. 9. 17.

감마함수에서도 재귀적 성질이 성립할까? 팩토리얼 함수는 아래와 같습니다. $f(n)=(n-1)!$ 팩토리얼에서는 아래와 같은 성질이 성립합니다. $f(n+1)=n \times f(n)$ 이런 성질을 재귀적 성질이라고 합니다. 유도는 쉽게 할 수 있습니다. $f(n+1)=n!$ $f(n+1)=n \times (n-1)!$ $f(n+1)=n \times f(n)$ 우리가 지난시간에 유도한 감마함수에서도 이런 성질이 성립할까요? 한번 확인해봅시다. 감마함수 적분형에 부분적분을 적용합니다. $\Gamma (x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$ $\Gamma (x)=\left [ t^{x-1} (-e)^{-t} \right ]^{\infty}_{0} -\int_{0}^{\infty}(x-1)t^{x-2}(-e)^{-t}dt.. 2021. 8. 20.

감마함수 유도하기 (Part2) 지난 글에서는 팩토리얼과 적분이 연결된 식을 유도했습니다. 아래와 같습니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n!}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)(e+n+1)}$ 오늘은 이 식을 변형해서 감마함수를 유도하겠습니다. 먼저 $e$ 를 $\frac{f}{g}$ 로 치환합시다. $\int_{0}^{1}x^{\frac{f}{g}}(1-x)^{n}dx= \frac{n!}{(\frac{f}{g}+1)(\frac{f}{g}+2)\cdots (\frac{f}{g}+n)(\frac{f}{g}+n+1)}$ 아래와 같이 우변 분모의 각 항을 통분해줍니다. $\int_{0}^{1}x^{\frac{f}{g}}(1-x)^{n}dx= \frac{n!}{(\frac{f+g}{g})(.. 2021. 8. 17.

[모듈식 수학 (하)] 3. 경우의 수 (8) 순열을 기호로 표현하기 [수학(하)]-[3.경우의 수]-[②순열]-[(8)순열을 기호로 표현하기] 순열을 기호로 표현하기 지지난 글에서 n개 중에서 r개를 택하는 순열을 어떻게 계산하는지 배웠습니다. 아래와 같이 계산합니다. $n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-r+1) $ n개 중에서 r개를 택하는 순열을 간단히 기호로 나타내기로 했습니다. 순열은 영어로 permutation 입니다. 첫알파벳인 P를 사용합시다. 아래와 같이 기호로 놓겠습니다. $_{n}P_{r}=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-r+1) $ 우변도 더 간단히 만들 수 있습니다. 지난글에서 배운 팩토리얼을 사용하면 됩니다. $_{n}P_{r}=.. 2021. 8. 14.

[5분 고등수학] 부분집합의 개수 쉽게 구하는 법 어떤 집합 A가 있을 때, 집합 A의 부분집합의 개수를 구하는 방법을 알아봅시다. 간단한 예시에서 시작해봅시다. 아래와 같은 집합이 있다고 합시다. $A=\left \{ 1 \right \}$ 부분집합의 개수가 몇개일까요. 1개라고 하신 분들도 있을텐데, 정답은 2개입니다. 공집합은 모든 집합의 부분집합이기 때문입니다. 따라서 집합 A의 부분집합은 아래와 같습니다. $\varnothing , \left \{ 2 \right \}$ 이번엔 원소를 하나 늘려봅시다. 아래와 같은 집합이 있다고 합시다. $B=\left \{ 1,2 \right \}$ 부분집합은 몇개일까요. 몇개 되지 않으니 쉽게 구할 수 있습니다. $\varnothing ,\left \{ 1 \right \},\left \{ 2 \right .. 2021. 8. 14.

감마함수 유도하기 (Part1) 오늘은 팩토리얼을 실수영역으로 확장한 감마함수에 대해 배워보도록 합시다. 실수영역으로 확장하려던 시도였는데 복소수영역까지 확장되게 됩니다. 더 정확히 이야기하면 감마함수는 팩토리얼 함수를 실수 영역으로 확장한 것입니다. 팩토리얼 함수는 아래와 같이 정의됩니다. $f(n)=(n-1)!$ 오일러는 n!을 실수 영역으로 확장하기 위해 고민하던 중에 아래 적분을 떠올리게 됩니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx$ 이 적분은 당시에 왈리스, 뉴튼, 스털링과 같은 수학자들이 가지고 놀고(?) 있었던 적분이라고 합니다. 먼저 이 적분을 변형해서 팩토리얼과 적분이 함께 등장하는 식으로 만들겠습니다. 아래와 같이 부분적분을 적용합시다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx=\left.. 2021. 8. 11.

[모듈식 수학 (하)] 3. 경우의 수 (7) 팩토리얼이란 무엇인가 [수학(하)]-[3.경우의 수]-[②순열]-[(7)팩토리얼이란 무엇인가] 팩토리얼이란 무엇인가 팩토리얼은 우리말로 '계승'이라고 부르고, 기호로는 느낌표(!)를 사용합니다. 음이 아닌 정수의 팩토리얼은 아래와 같이 정의됩니다. $n!=n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1$ 몇가지 예를 들면 아래와 같습니다. $3!=3 \cdot 2 \cdot 1$ $5!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ 자연수의 팩토리얼이라고 하지 않고 음이 아닌 정수의 팩토리얼이라고 하는 이유는 0! 도 존재하기 때문입니다. 0!은 아래와 같이 정의됩니다. $0!=1$ 0!이 1이 되는 이유는 아래 영상을 참고해주세요. https://www.youtube.com/watch?v=hdtr2S.. 2021. 8. 7.

[5분 고등수학] 원의 접선의 방정식 (3) 원 밖의 한 점을 알 때 원의 접선의 방정식을 구하는 문제 유형에는 세가지가 있습니다. 1) 기울기 m을 알려줄게 접선을 구해보세요 2) 원 위의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요 3) 원 밖의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요 세 번째 경우를 구해봅시다. 아래 그림과 같이 중심이 원점이고 반지름이 r인 원이 있다고 합시다. 원 밖에 한 점에서는 원에 두개의 접선을 그을 수 있습니다. 접선의 기울기를 m으로 놓으면 아래와 같은 직선의 방정식을 세울 수 있습니다. $y=m(x-x_{1})+y_{1}$ 이제 m을 구해야 합니다. 원의 중심으로 부터 직선까지의 거리가 r이라는 조건을 이용할 수 있습니다. 위 방정식을 아래와 같이 변형합니다. $mx-y-mx_{1}+y_{1}=0$ 원의 중심인 원점과 직선사이의 거리가 r이라는 것을.. 2021. 8. 7.

정의역의 확장 고등학교 수학 수열 단원에서는 자연수의 합 공식을 배웁니다. 아래 공식입니다. $1+2+ \dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ 유도는 아래와 같이 하면됩니다. \begin{align} 1+2+ \dots +n&=S \\ n+\dots+2+1&=S \end{align} 각 변을 더해줍니다. $\begin{align} (n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)=2S \end{align}$ 좌변의 n+1 이 n개 더해진 것이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $n(n+1)=2S$ 따라서 1부터 n까지의 자연수의 합 S는 아래와 같습니다. $S=\frac{n(n+1)}{2}$ 다시 처음 수식을 봅시다. $1+2+ \dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ 이 수식을 보면 무슨 생각이 드시.. 2021. 8. 1.

[모듈식 수학 (하)] 3. 경우의 수 (6) 순열이란 무엇인가 [수학(하)]-[3.경우의 수]-[②순열]-[(6)순열이란 무엇인가] 순열이란 무엇인가 순열은 '순서가 있는 나열'입니다. 어떤 숫자나 문자를 순서가 있게 나열하는 것입니다. 순열은 보통 n개 중에서 r개를 택하여 나열합니다. 이를 n개 중에서 r개를 택하는 순열이라고 부릅니다. 예를들어 1부터 5까지 숫자 중에서 2개를 뽑아 나열하는 것은 5개 중에서 2개를 택하는 순열 입니다. 몇가지 방법이 있을까요? 아래와 같이 두 자리를 만들겠습니다. O O 숫자가 총 5개 이므로, 첫번째 자리에는 5가지 숫자가 올 수 있고, 두번째 자리에는 4가지 숫자가 올 수 있습니다. 따라서 경우의 수는 아래와 같습니다. $5 \times 4$ 일반화 시켜봅시다. n개 중에서 r개를 택하는 순열은 r개의 자리를 만들어 주면.. 2021. 7. 31.

[5분 고등수학] 원의 접선의 방정식 (2) 원 위의 한 점을 알 때 원의 접선의 방정식을 구하는 문제 유형에는 세가지가 있습니다. 1) 기울기 m을 알려줄게 접선을 구해보세요 2) 원 위의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요 3) 원 밖의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요 두 번째 경우를 구해봅시다. 아래 그림과 같이 중심이 원점이고 반지름이 r인 원 위의 한 점을 알고 있는 상황을 가정합시다. 원 위의 한 점은 $(x_{1},y_{1})$ 입니다. 기울기를 아는 경우에는 접선이 두 개 존재한 반면, 원 위의 한 점을 아는 경우에는 접선이 하나만 존재합니다. 접선의 기울기를 구하기 위해 아래 그림과 같이 원의 중심과 접점을 연결하는 선을 하나 그어봅시다. 이 선은 접선과 수직으로 만납니다. 원의 중심과 접점을 연결한 선의 기울기는 아래 그림에서 보이는 것처럼 $\fra.. 2021. 7. 31.

[모듈식 수학 (하)] 3. 경우의 수 (5) 약수의 개수 [수학(하)]-[3.경우의 수]-[①경우의 수]-[(5) 약수의 개수] 약수의 개수 간단한 숫자를 통해 이해하고 일반화하겠습니다. 24의 양의 약수의 개수를 구해봅시다. 1,2,3,4,6,8,12,24 8개입니다. 1부터 키워가며 약수인지 아닌지 확인하면 어렵지 않게 구할 수 있습니다. 이번에는 240의 약수의 개수를 구해봅시다. 위와 같은 방법으로 구하기에는 숫자가 너무 큽니다. 다시 24로 돌아가봅시다. 24의 약수들이 어떻게 구해지는지 알아봅시다. 24를 인수분해하면 아래와 같습니다. $24= 2^{3} \times 3$ 24의 약수는 $2^{3}$ 의 약수와 $3$의 약수를 조합하여 만들수 있는 모든 수들입니다. 아래의 두 집합에서 각각 하나의 원소를 택하고 곱하여 만들 수 있는 모든 수를 말합니.. 2021. 7. 24.

[5분 고등수학] 원의 접선의 방정식 (1) 기울기가 m인 경우 원의 접선의 방정식을 구하는 문제 유형에는 세가지가 있습니다. 1) 기울기 m을 알려줄게 접선을 구해보세요 2) 원 위의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요 3) 원 밖의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요 첫번째 경우를 구해봅시다. 간단한 형태의 원에서 시작합시다. 중심이 원점인 원입니다. 중심이 원점으고 반지름이 r인 원의 방정식은 아래와 같습니다. 기울기가 m인 접선은 두개가 있습니다. 아래 그림과 같습니다. 기울기가 m인 직선의 방정식을 $y=mx+n$ 이라고 놓겠습니다. m은 우리가 알고 있는 값이고, n은 모르는 값입니다. n을 구해야합니다. n을 구하기 위해 원의 중심으로 부터 직선까지의 거리가 r이라는 조건을 사용할 수 있습니다. 아래와 같습니다. $\frac{\left | n \right.. 2021. 7. 24.

[모듈식 수학 (하)] 3. 경우의 수 (4) 전개식에서 항의 개수 [수학(하)]-[3.경우의 수]-[①경우의 수]-[(4) 전개식에서 항의 개수] 전개식에서 항의 개수 다항식의 곱을 전개했을 때 항의 개수를 구하는 방법을 알아봅시다. 아래와 같은 다항식이 있습니다. $(a+b+c+d)(x+y+z)$ 첫번째 항인 (a+b+c+d)의 각각의 문자들은 두번째 항인 (x+y+z) 각각의 문자들과 곱해져서 전개식의 항을 이루게 됩니다. 따라서 첫번째 항의 각각의 문자마다 세개의 항을 생성합니다. 첫번째 항에는 네개의 문자가 있으므로 전개식에는 $4 \times 3$ 개의 문자가 생깁니다. 이번에는 항이 세개 곱해진 다항식을 봅시다. $(a+b+c)(x+y+z)(p+q)$ 첫번째 항과 두번째 항의 곱으로 생성된 다항식의 항들은 세번째 항의 각각의 문자들과 곱해져서 전개식의 항을 .. 2021. 7. 17.

[5분 고등수학] 두 원의 공통 내접선의 길이 두 원이 있습니다. 두개의 내접선을 그릴 수 있습니다. 내접선은 안에서 접하는 선입니다. 두 원에는 겹치는 부분이 없어야 합니다. 공통 외접선은 겹치는 부분이 있어도 존재하지만 공통내접선은 두 원에 겹치는 부분 이 있다면 존재하지 않습니다. 내접선의 길이를 구해봅시다. 내접선의 길이는 내접선이 원과 접하는 두 점 사이의 거리입니다. 원과 접하는 두 점에서 각 원의 중심을 연결한 선분을 긋겠습니다. 아래와 같습니다. 공통내접선과는 수직으로 만납니다. 원에 한 선이 접하고 있을 때, 원의 중심에서 접점에 그은 선은 접선과 수직관계이기 때문입니다. 두 원 중 작은 원의 반지름을 r이라고 놓고, 큰 원의 반지름을 R이라고 놓겠습니다. 두 원의 중심을 연결한 선분도 긋겠습니다. 각 원의 중심의 좌표를 $(x_{1.. 2021. 7. 17.

피보나치 수열과 토끼 문제 (왜 피보나치 수열이 성립할까?) 피보나치 수열과 토끼 문제는 피보나치가 1202년에 출간한 책 Liber Abaci 에 나오는 문제입니다. Liber Abaci (리베르 아바치)는 라틴어구요. 영어로는 The book of calculation 입니다. 우리말로는 "계산의 책"입니다. 피보나치는 1170년생이고, 피사공화국 사람입니다. 피보나치 수열과 토끼 문제는 '피보나치의 토끼' 라고 불립니다. 문제는 아래와 같습니다. 이해가 쉽도록 각색하였습니다. 1. 1월1일에 토끼 한쌍이 태어남. 2. 태어난 토끼 한쌍은 두달 뒤부터 매달 한쌍의 토끼를 낳음. 4. 새로 태어난 토끼쌍들도 2번의 규칙을 따름 3. 토끼는 죽지않음. 1년 뒤 몇쌍의 토끼가 있을까요? 첫 토끼쌍을 $R_{1}$ 이라고 놓겠습니다. 두달이 지나야 새끼를 낳으므로, .. 2021. 7. 13.

나르시시스트수 39자리 검증하기 39자리 나르시시스트 수는 아래와 같습니다. 115132219018763992565095597973971522401 먼저 엑셀로 해보려고 했습니만 실패했습니다. 엑셀에서는 최대 15개의 유효숫자만 입력되기 때문입니다. 이렇게 입력을 해도, 최대 유효숫자를 제외한 나머지는 0으로 인식합니다. 이번에는 R을 이용해봤습니다. R도 17개까지밖에 유효숫자 입력이 안되는데, 큰 정수를 다루는 패키지가 있었습니다. gmp라는 패키지를 이용하였습니다. > nar39=as.bigz("115132219018763992565095597973971522401") > nar39 Big Integer ('bigz') : [1] 115132219018763992565095597973971522401 입력이 잘 됩니다. 각각의 숫.. 2021. 7. 12.

[모듈식 수학 (하)] 3. 경우의 수 (3) 곱의법칙 [수학(하)]-[3.경우의 수]-[①경우의 수]-[(3) 곱의 법칙] 곱의 법칙 점심을 먹으려고 합니다. 식당에 갔더니 햄버거가 두종류 있고, 음료가 세종류 있었습니다. 햄버거 하나와 음료 하나를 먹으려고 합니다. 선택할 수 있는 조합은 몇가지인가요? $2 \times 3 = 6$ 가지 입니다. 햄버거라는 사건과 음료라는 사건이 있고, 두 사건이 동시에 일어나는 경우의 수를 구한 것입니다. 두 사건의 경우의 수를 '곱해서' 구했습니다. 위 예시처럼 경우의 수가 구해지는 것을 '곱의 법칙'이라고 합니다. 일반화시켜봅시다. 두 사건 A,B가 있습니다. 사건 A가 일어나는 경우의 수가 $n(A)$ 이고, 사건 A의 각 경우에 대하여 사건 B가 일어나는 경우의 수가 $n(B)$ 입니다. 이때 두 사건 A,B가 .. 2021. 7. 10.

[5분 고등수학] 두 원의 공통 외접선의 길이 두 원이 있습니다. 두개의 공통 외접선을 그릴 수 있습니다. 외접선은 밖에서 접하는 선입니다. 외접선의 길이를 구해봅시다. 외접선의 길이는 외접선이 원과 접하는 두 점 사이의 거리입니다. 원과 접하는 두 점에서 각 원의 중심을 연결한 선분을 긋겠습니다. 아래와 같습니다. 원에 한 선이 접하고 있을 때, 원의 중심에서 접점에 그은 선은 접선과 수직입니다. 두 원 중 작은 원의 반지름을 r이라고 놓고, 큰 원의 반지름을 R이라고 놓겠습니다. (두 원의 크기가 같을 경우에는 두 원 중심사이의 거리가 외접선의 길이와 같습니다.) 각 원의 중심의 좌표를 $(x_{1},y_{1})$ 과 $(x_{2},y_{2})$ 라고 놓겠습니다. 두 원의 중심을 연결한 선분을 긋겠습니다. 공통외접선과 평행한 선분을 아래와 같이 .. 2021. 7. 10.

나르시시스트 수 (자아도취된 수) 나르시시즘이라는 단어가 있습니다. 이 단어는 그리스 신화에 나오는 나르키소스의 이름을 딴 말입니다. 나르키소스는 물에 비친 자신의 모습에 반해서 물에 빠져 죽은 인물입니다. 나르시시즘은 온 관심이 자신에게 쏠려있는 자아도취된 행동을 뜻합니다. 나르시시즘에 빠져 있는 사람을 나르시시스트라고 부릅니다. 수학자들은 특정한 숫자들에도 나르시시스트라는 이름을 붙였습니다. 어떤 수의 각 자리 수를 이 수의 전체 자리수 만큼 제곱해서 합한 값이 자기자신이 되는 수 입니다. 예를들면 153이 있습니다. 153은 아래와 같은 특징을 갖습니다. $153=1^{3}+5^{3}+3^{3}$ 네자리 나르시시스트 수를 예로 들면 아래와 같습니다. $1634=1^{4}+6^{4}+3^{4}+4^{4}$ 이런 수를 나르시시스트 수라.. 2021. 7. 9.

[5분 고등수학] 점과 직선 사이의 거리 좌표평면위의 한 점과 한 직선 사이의 거리를 구해보려고 합니다. 한 점을 $(x_{1},y_{1})$ 이라고 놓겠습니다. 한 직선은 $ax+by+c=0$이라고 놓겠습니다. 점과 직선을 연결한 선은 무수히 많습니다. 그 중에서 가장 짧은 거리의 선을 '점과 직선 사이의 거리'로 정의합시다. 점에서 직선까지 가장 짧은 거리의 선을 그엇을 때 만나는 점의 좌표를 $(x',y')$ 이라고 합시다. 90도가 되도록 그은 선이 가장 짧습니다. 두 점사이의 거리가 점과 직선사이의 거리입니다. 두 점 사이의 거리는 아래와 같습니다. 이 거리가 점과 직선 사이의 거리입니다. 0번식이라고 놓겠습니다. $d=\sqrt{ (x_{1}-x')^{2}+ (y_{1}-y')^{2} }$ ....(0) $x_{1}$과 $y_{1}$.. 2021. 7. 7.

[5분 고등수학] 두 직선의 교점을 지나는 직선 2차원 평면에서, 평행하지 않는 두 직선은 항상 한 점에서 만납니다. 이 교점을 지나는 직선은 무수히 많습니다. 이 교점을 지나는 직선을 방정식으로 표현해봅시다. 두 직선을 각각 $y=ax+b$ 와 $y=a'x+b'$ 이라고 놓겠습니다. 두 직선을 연립해서 x와 y를 구합시다. 먼저 x좌표를 구해봅시다. $y=ax+b$ $y=a'x+b'$ 위 수식에서 아래 수식을 뻅니다. $0=(a-a')x+b-b'$ x에 대해 정리하면 아래와 같습니다. $x=\frac{b'-b}{a-a'}$ 이번에는 y좌표를 구해봅시다. 아래와 같이 두 방정식을 변형합시다. $a'y=aa'x+a'b$ $ay=aa'x+ab'$ 위 수식에서 아래 수식을 뺍시다. $(a'-a)y=a'b-ab'$ y에 대해 정리하면 아래와 같습니다. $y=.. 2021. 7. 6.

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